История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2020-04-01 | 242 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Случайные вектора
Оглавление
Функция распределения вероятностей двух случайных величин.......... 2
Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин............................................................................................................................................. 4
Условная функция распределения вероятностей........................................... 7
Условная плотность вероятности......................................................................... 7
Числовые характеристики двумерного случайного вектора.................... 8
Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации............................ 10
Ковариация и независимость двух случайных величин........................... 11
Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности 13
Коэффициент корреляции...................................................................................... 15
Коэффициент корреляции и расстояние.......................................................... 17
Функция распределения вероятностей случайного вектора................... 18
Плотность вероятности случайного вектора................................................. 19
Многомерное нормальное распределение..................................................... 21
Характеристическая функция случайного вектора.................................... 22
Функции от случайных величин......................................................................... 23
Распределение вероятностей функции одной случайной величины.... 24
Преобразование нескольких случайных величин....................................... 28
Хи - квадрат распределение вероятностей..................................................... 30
Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям 33
Литература............................................................................................... 35
Функция распределения вероятностей двух случайных величин
В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.
|
Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин , (или случайного вектора ) называется функция
. (50.1)
Следует иметь в виду, что - вероятность события - пересечения двух событий: и . В записях вида (50.1) принято вместо символа использовать запятую.
50.1. Рассмотрим основные свойства функции , следующие из ее определения.
1). , где - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно, - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где - функция распределения вероятностей случайной величины .
2). , поскольку события , - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .
3). , поскольку событие - невозможное и . Аналогично .
4). - неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .
5). непрерывна справа по каждому аргументу.
50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины , являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора можно рассматривать как точку на плоскости, а функция определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.
Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .
Представим вероятность - попадания случайного вектора в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что
Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.
|
(50.2)
Пусть , - малые величины и функция имеет первые производные по и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:
. (50.3)
Отсюда:
. (50.4)
Коэффициент корреляции
58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется число
. (58.1)
Коэффициент корреляции является ковариацией: двух безразмерных случайных величин
, , (58.2)
полученных из исходных величин и путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние , и единичные дисперсии , .
Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию случайных величин и :
. (58.3)
Поскольку , то из (58.3) следует
. (58.4)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами и , в отличие от ковариации , для которой интервал значений зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства как меры статистической связи между случайными величинами.
58.2. Пусть - случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией и . Ковариация случайных величин и определяется формулой (56.5): . Подставим это соотношение в (58.3), тогда:
(58.4)
Таким образом, для случайных величин , , связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции принимает либо максимальное значение , либо минимальное - .
58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины и на линейную случайную функцию следующего вида:
(58.5)
где и - независимые случайные величины. В частном случае - число и (58.5) – линейная функция, определяющая через . Для детерминированной линейной связи - принимает максимальное значение. Если - случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к . В зависимости от свойств случайной величины статистическая связь между и может быть сильной, , или слабой, . Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами и (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.
|
Пусть , , , . Тогда из (58.5) следует, в силу независимости и :
.
Выразим дисперсию случайные величины через параметры случайных величин , :
. (58.6)
Теперь по формуле (58.3):
. (58.7)
Если , то из (58.7) следует , что соответствует слабой связи между случайными величинами и . Если , из (58.7) следует , связь становится сильной и в пределе при переходит в детерминированную линейную связь.
Литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.
2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.
3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.
5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.
6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.
7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.
8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.
9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.
10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.
11. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.
Случайные вектора
Оглавление
Функция распределения вероятностей двух случайных величин.......... 2
Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин............................................................................................................................................. 4
Условная функция распределения вероятностей........................................... 7
Условная плотность вероятности......................................................................... 7
|
Числовые характеристики двумерного случайного вектора.................... 8
Верхняя и нижняя границы корреляции и ковариации............................ 10
Ковариация и независимость двух случайных величин........................... 11
Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности 13
Коэффициент корреляции...................................................................................... 15
Коэффициент корреляции и расстояние.......................................................... 17
Функция распределения вероятностей случайного вектора................... 18
Плотность вероятности случайного вектора................................................. 19
Многомерное нормальное распределение..................................................... 21
Характеристическая функция случайного вектора.................................... 22
Функции от случайных величин......................................................................... 23
Распределение вероятностей функции одной случайной величины.... 24
Преобразование нескольких случайных величин....................................... 28
Хи - квадрат распределение вероятностей..................................................... 30
Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям 33
Литература............................................................................................... 35
Функция распределения вероятностей двух случайных величин
В задачах со случайным исходом обычно приходится учитывать взаимодействие нескольких случайных величин. Это естественным образом приводит к понятию многомерных (векторных) случайных величин или совокупности нескольких случайных величин. Случайный вектор является третьим основным объектом изучения теории вероятностей (после случайного события и случайной величины). Целесообразно начать изучение случайных векторов с рассмотрения двухмерных векторов, свойства которых сравнительно простые и наглядные.
Совместной функцией распределения вероятностей (или двумерной функцией распределения вероятностей) случайных величин , (или случайного вектора ) называется функция
. (50.1)
Следует иметь в виду, что - вероятность события - пересечения двух событий: и . В записях вида (50.1) принято вместо символа использовать запятую.
50.1. Рассмотрим основные свойства функции , следующие из ее определения.
1). , где - функция распределения вероятностей случайной величины . Действительно, - достоверное событие, поэтому . Аналогично , где - функция распределения вероятностей случайной величины .
2). , поскольку события , - достоверные, следовательно их пересечение – достоверное событие и .
3). , поскольку событие - невозможное и . Аналогично .
4). - неубывающая функция аргумента , а также неубывающая функция аргумента .
5). непрерывна справа по каждому аргументу.
|
50.2. Рассмотрим геометрическую интерпретацию функции . Пусть случайные величины , являются компонентами случайного вектора . Тогда результат каждого опыта по измерению случайного вектора можно рассматривать как точку на плоскости, а функция определяет вероятность попадания точки в часть плоскости: , выделенной на рис. 50.1 штриховкой.
Рис. 50.1. Геометрическая интерпретация функции .
Представим вероятность - попадания случайного вектора в прямоугольник , , , , рис 50.2, через функцию . Несложно определить, что
Рис. 50.2. К вычислению вероятности попадания в прямоугольник.
(50.2)
Пусть , - малые величины и функция имеет первые производные по и , а также вторую смешанную производную, тогда из (50.2) следует:
. (50.3)
Отсюда:
. (50.4)
Совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин
Пусть у функции существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция
(51.1)
Рассмотрим основные свойства двумерной плотности вероятности.
1. Справедливо соотношение:
. (51.2)
Для доказательства используем равенство (51.1), тогда:
. (51.3)
Теперь из равенства (50.2) следует (51.2). Это соотношение имеет практическое значение, поскольку позволяет вычислять вероятность - попадания двумерного вектора в прямоугольник, определяемый отрезками и через плотность вероятности .
2. Рассмотрим частный случай соотношения (51.2). Пусть , , , , тогда (51.2) принимает вид:
. (51.4)
Это соотношение определяет функцию распределения вероятностей через плотность вероятности и является обратным по отношению к равенству (51.1).
3. Рассмотрим (51.2) при условиях: , , , , тогда из (51.2) следует равенство:
, (51.5)
поскольку - как вероятность достоверного события. Соотношение (51.5) называется условием нормировки для плотности вероятности .
4. Если - плотность вероятности вектора , и - плотность вероятности случайной величины , то
. (51.6)
Это равенство называется свойством согласованности плотности второго порядка и плотности первого порядка . Если известна плотность второго порядка , то по формуле (51.6) можно вычислить плотность вероятности - случайной величины . Аналогично,
. (51.7)
Доказательство (51.6) получим на основе равенства
. (51.8)
Представим через плотность согласно (51.4), а через , тогда из (51.8) следует
. (51.9)
Дифференцирование (51.9) по приводит к равенству (51.6), что и завершает доказательство.
5. Случайные величины и называются независимыми, если независимы случайные события и при любых числах и . Для независимых случайных величин и :
. (51.10)
Доказательство следует из определений функций и , . Поскольку и - независимые случайные величины, то события вида: и - независимые для любых и . Поэтому
(51.11)
- справедливо равенство (51.10). Продифференцируем (51.10) по и , тогда согласно (51.1) получаем следствие для плотностей:
. (51.12)
6. Пусть - произвольная область на плоскости , тогда
(51.13)
- вероятность того, что вектор принимает любые значения из области определяется интегралом по от плотности вероятности .
Рассмотрим пример случайного вектора с равномерным распределением вероятностей, который имеет плотность вероятности на прямоугольнике и - вне этого прямоугольника. Число определяется из условия нормировки:
.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!