Критерий согласия Колмогорова.

Данный критерий согласия устанавливает близость теоретических и опытных распределений путем сравнения интегральных распределений. Для установления согласия вычисляется величина:

λ =

 

где максимальная разность между теоретическими и эмпирическими текущими накопленными частотами;
n - общий объем выборки; накопленные частоты.

 

По вычисленной величине λ находится P(λ) - вероятность того,
что λ. достигнет данной величины. Если P(λ)≥ 0,05 то расхождение

между частотами может быть случайным и распределения хорошо соответствуют друг другу. Таблица вероятностей P(λ)приведена в справочниках.

Как следует из сказанного, для получения λ, необходимо предварительно вычислить теоретические частоты, а потом произвести их последовательное накопление.

Числа Вестергарда.

С помощью этих чисел можно упрощенным способом проверять "нормальность" эмпирического распределения.

Числами Вестергарда являются: 0,3; 0,7; 1,1; 3.

Для их использования сначала определяют среднюю арифметическую величину у и среднее квадратическое отклонение Считается, что оцениваемое эмпирическое распределение близко к нормальному, если выполняются следующие условия:

в диапазоне находится примерно 25 % всех измерений у;

в диапазоне находится примерно 50 % всех измерений у;

3)в диапазоне  находится примерно 75 % всех измерений;

4)в диапазоне расположено 99,8 % всех измерений.

*************************************************************************************

Подготовка к табличному представлению данных

Любой изучаемый процесс или явление всегда характеризуется какими-либо параметрами. Поэтому сбор, анализ и исследование этих параметров всегда несет в себе информацию, необходимую для исследовательского процесса.

Числовые значения параметров, полученные в ходе наблюдений или эксперимента, обычно представляют собой мало наглядный ряд чисел, на основании которого трудно сделать какие-либо выводы.

Поэтому их надо обобщить, обработать и извлечь максимум полезной информации.

Например, пусть мы имеем объемы плавок, полученные в мартеновской печи, емкостью 130 т в течении одной недели:

116, 118, 119, 123, 124, 125, 127, 129, 130, 131, 129, 128, 129, 132, 134, 131, 135, 137, 134, 139, 141.

Этот набор чисел не несет в себе практически никакой информации.

Поэтому полученные данные необходимо располагать в определенной последовательности.

Удобным способом представления данных является группировка данных.

Представленный ряд чисел группируют на несколько интервалов или групп в специальных таблицах.

В процессе группировки данных первоначально наблюдаемые значения теряются, но если группы выбраны правильно, то сохраняется удовлетворительное общее представление о полученных фактических данных.

Первым этапом при составлении таблиц сгруппированных данных является принятие решения об объеме групп (или ширине интервалов группировки).

Можно выбрать такую малую группу, что даже небольшие случайные колебания будут способны иска­зить общую, картину.

С другой стороны, при слишком малом числе групп нельзя получить достаточно детальной картины.

Обычно берется 10—20 интервалов группировки.

Выбор точного числа интервалов зависит от:

1)       размаха имеющихся данных, т. е. разности между наибольшим и наименьшим выборочными значениями,

2)       удобного объема группы,

3)       общего числа наблюдений.

С учетом этих требований, сведенные в таблицу представленные выше данные по объему плавок за неделю будут иметь следующий вид:

 

№ п.п.	Интервал группировки	Срединное значение	Распределение данных	Частота	Накопительная частота
1 2 3 4 5 6 7	115-119 119-123 123-127 127-131 131-135 135-139 139-143	117 121 125 129 133 137 141	111 1 111 1111111 1111 11 1	3 1 3 7 4 2 1	3 4 7 14 18 20 21

 

Эта таблица уже несет в себе определенную информацию:

наибольшее количество плавок наблюдается в интервале 127-131т, а наименьшее - в интервале 119-123 т и 139-143.

В каждом из этих интервалов группировки определяем частоту попадания в интервал, или просто частоту f.

Теперь каждый интервал группировки имеет определенные границы, и целесообразно задать в нем некоторое представительное значение. Определим вначале пределы интервала группировки.

В качестве представительного значения каждого интервала группировки будем использовать срединное значение X.

Оно находится посредине между пределами интервала или между границами интервала.

В некоторых случаях ширина интервала группировки может быть переменной, например на краях диапазона, где наблюдаемые значения встречаются реже.

Существует несколько общих правил группировки необработанных данных по интервалам, помогающих избежать путаницы и обеспечивающих более эффективное составление таблиц, а впоследствии облегчающих подбор теоретической кривой, соответствующей этим данным.

Приведем наиболее важные правила.

При выборе числа интервалов группировки лучше всего ориентироваться на 10—20 интервалов. Несомненно, иногда делаются исключения из этого правила, но при числе интервалов, большем 20, вся картина может исказиться. При слишком большом числе интервалов ощущается влияние даже небольших случайных колебаний. С другой стороны, если число интервалов меньше 10, то построение теоретической кривой по эмпирическим данным может быть затруднено.

Обычно предпочтительно иметь интервалы одинаковой ширины. Если же интервалы имеют разную ширину, то площади должны быть пропорциональны соответствующим частотам попадания в интервал.

Необходимо охватывать всю область данных. Если неизвестны предельные значения, то невозможно вычислить некоторые выборочные статистики.

Следует избегать открытых интервалов, т. е. интервалов, ограниченных только с одной стороны. Обычно они затрудняют составление таблицы. Например, какую ширину следует приписывать открытым интервалам?

Интервалы не должны перекрываться. Не должно возникать никаких сомнений относительно того, в какой интервал попадает любое конкретное значение.

Нужно выбирать удобные интервалы группировки. Следует выбирать более естественную либо обоснованную ширину интервала. Кроме того, если отчетливо наблюдается определенная последовательность равноотстоящих значений, то их можно использовать в качестве срединных значений интервалов.

*************************************************************************************

Математическая модель.

Слово "Модель" происходит от латинского modus (копия, образ, очертание). Моделирование - это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.

Модель всегда строится с определенной целью, которая оказывает влияние на то, какие свойства объективного явления оказываются существенными, а какие - нет. Модель представляет собой как бы проекцию объективной реальности под определенным углом зрения. Иногда, в зависимости от целей, можно получить ряд проекций объективной реальности, вступающих в противоречие. Это характерно, как правило, для сложных систем, у которых каждая проекция выделяет существенное для определенной цели из множества несущественного.

Теорией моделирования является раздел науки, изучающий способы исследования свойств объектов-оригиналов, на основе замещения их другими объектами-моделями. В основе теории моделирования лежит теория подобия. При моделировании абсолютное подобие не имеет места и лишь стремится к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сторону функционирования объекта. Абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

В общем случае математическая модель реального объекта, процесса или системы представляется в виде системы функционалов

Фi (X,Y,Z,t)=0,

где X - вектор входных переменных, X=[x1,x2,x3,..., xN]t,

Y - вектор выходных переменных, Y=[y1,y2,y3,..., yN]t,

Z - вектор внешних воздействий, Z=[z1,z2,z3,..., zN]t,

t - координата времени.

Построение математической модели заключается в определении связей между теми или иными процессами и явлениями, создании математического аппарата, позволяющего выразить количественно и качественно связь между теми или иными процессами и явлениями, между интересующими специалиста физическими величинами, и факторами, влияющими на конечный результат.

Обычно их оказывается настолько много, что ввести в модель всю их совокупность не удается. При построении математической модели перед исследованием возникает задача выявить и исключить из рассмотрения факторы, несущественно влияющие на конечный результат (математическая модель обычно включает значительно меньшее число факторов, чем в реальной действительности). На основе данных эксперимента выдвигаются гипотезы о связи между величинами, выражающими конечный результат, и факторами, введенными в математическую модель. Такая связь зачастую выражается системами дифференциальных уравнений в частных производных (например, в задачах механики твердого тела, жидкости и газа, теории фильтрации, теплопроводности, теории электростатического и электродинамического полей).

Конечной целью этого этапа является формулирование математической задачи, решение которой с необходимой точностью выражает результаты, интересующие специалиста.

 

*************************************************************************************

Классификация моделей

Все модели можно разделить на два класса:

вещественные,

идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

натурные,

физические,

математические.

Идеальные модели можно разделить на:

наглядные,

знаковые,

математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

Форма и принципы представления математической модели зависит от многих факторов.

По принципам построения математические модели разделяют на:

аналитические;

имитационные.

В аналитических моделях процессы функционирования реальных объектов, процессов или систем записываются в виде явных функциональных зависимостей.

Аналитическая модель разделяется на типы в зависимости от математической проблемы:

уравнения (алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные),

аппроксимационные задачи (интерполяция, экстраполяция, численное интегрирование и дифференцирование),

задачи оптимизации,

стохастические проблемы.

Однако по мере усложнения объекта моделирования построение аналитической модели превращается в трудноразрешимую проблему. Тогда исследователь вынужден использовать имитационное моделирование.

В имитационном моделировании функционирование объектов, процессов или систем описывается набором алгоритмов. Алгоритмы имитируют реальные элементарные явления, составляющие процесс или систему с сохранением их логической структуры и последовательности протекания во времени. Имитационное моделирование позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса или системы в определенные моменты времени, однако прогнозирование поведения объектов, процессов или систем здесь затруднительно. Можно сказать, что имитационные модели - это проводимые на ЭВМ вычислительные эксперименты с математическими моделями, имитирующими поведение реальных объектов, процессов или систем.

В зависимости от характера исследуемых реальных процессов и систем математические модели могут быть:

детерминированные,

стохастические.

В детерминированных моделях предполагается отсутствие всяких случайных воздействий, элементы модели (переменные, математические связи) достаточно точно установленные, поведение системы можно точно определить. При построении детерминированных моделей чаще всего используются алгебраические уравнения, интегральные уравнения, матричная алгебра.

Стохастическая модель учитывает случайный характер процессов в исследуемых объектах и системах, который описывается методами теории вероятности и математической статистики.

По виду входной информации модели разделяются на:

непрерывные,

дискретные.

Если информация и параметры являются непрерывными, а математические связи устойчивы, то модель - непрерывная. И наоборот, если информация и параметры - дискретны, а связи неустойчивы, то и математическая модель - дискретная.

По поведению моделей во времени они разделяются на:

статические,

динамические.

Статические модели описывают поведение объекта, процесса или системы в какой-либо момент времени. Динамические модели отражают поведение объекта, процесса или системы во времени.

По степени соответствия между математической моделью и реальным объектом, процессом или системой математические модели разделяют на:

изоморфные (одинаковые по форме),

гомоморфные (разные по форме).

Модель называется изоморфной, если между нею и реальным объектом, процессом или системой существует полное поэлементное соответствие. Гомоморфной - если существует соответствие лишь между наиболее значительными составными частями объекта и модели.

Все методы моделирования предполагают проведение научных исследований или до моделирования или в процессе.

Следовательно, научные исследования являются главной базой для принятия решений, особенно на современном этапе.

Все методы моделирования основываются на системном подходе.

 

************************************************************************************