Изучение основного закона динамики

ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Лабораторная работа 6

 

       Цель работы – изучение основного закона динамики вращательного движения твердого тела на примере маятника Обербека.

 

 

Описание экспериментальной установки

 

Маятник Обербека представляет собой крестовину, состоящую из четырёх стержней с нанесенными на них делениями, прикреплённых к барабану с осью (рис.6.1). На стержни надеваются одинаковые грузы в виде цилиндров массой , радиусом  и образующей , которые могут быть закреплены на расстоянии  от оси вращения. На шкив радиусом  наматывается нить, к свободному концу которой прикрепляется груз массой . Под действием груза нить разматывается и приводит маятник во вращательное движение, которое предполагается равноускоренным. Время движения груза  измеряется электронным секундомером, включение которого производится кнопкой «Пуск», а остановка происходит по сигналу фотодатчика. Груз опускается на расстояние h, измеряемое вертикально закрепленной линейкой. Установка имеет электромеханическое тормозное устройство, управление которого осуществляется по сигналу фотодатчика.

 

 

Рис.6.1

 

Методика эксперимента и вывод рабочих формул

 

Вращение – одна из распространенных форм движения в природе и технике. Вращаются колеса автомобилей, оси различных движущихся агрегатов, вращаются планеты вокруг своих осей и вокруг Солнца, вращаются звезды и целые галактики. Знать хорошо механику полезно и с той точки зрения, что часто механические модели используются для объяснения более сложных физических явлений в молекулярной физике, электродинамике, атомной физике и т. д. Таким образом, для дальнейшего успешного изучения физики и других дисциплин, в том числе и специальных, необходимо прочно усвоить фундаментальные законы механики и, конечно, основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Абсолютно твердым телом называется такое тело, расстояния между частицами которого не меняются во время движения.

    При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки описывают окружности определенных радиусов . Центры этих окружностей лежат на оси вращения (рис. 6.2).

Рис.6.2

Для характеристики вращательного движения твердого тела вводят понятие угловой скорости.

Угловая скорость – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту вращательного движения твердого тела:

.                                                  (6.1)

Единицей измерения угловой скорости в системе СИ является .

Вектор  называется вектором элементарного углового перемещения. Длина его численно равна углу поворота , выраженного в радианах, а направление совпадает с перпендикуляром к плоскости, в которой происходит этот поворот: если рукоятку правого винта вращать по направлению движения точки, то поступательное движение самого винта совпадает с направлением  (правило буравчика).

Как следует из (6.1) угловая скорость соноправлена с вектором элементарного углового перемещения ( ).

Вектор  может изменяться с течением времени как за счет изменения величины скорости вращения тела вокруг оси, так и за счет изменения направления вращения.

Угловое ускорение – это векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости:

.                                                  (6.2)

При вращении тела вокруг неподвижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости , т.е. при ускоренном вектор  сонаправлен с вектором  (), при замедленном движении вектор  направлен противоположно    () (см. рис.6.2). Единицей измерения углового ускорения в системе СИ является радиан на секунду в квадрате .

Вращение можно также характеризовать линейной скоростью , линейным ускорением , а также нормальным  и тангенциальным                         ускорением (см. гл.1).

       Мерой действия, вызывающего вращение твердого тела, является    момент силы:

    ,                                               (6.3)

где  – радиус-вектор точки приложения силы; – сила, приложенная к телу;  – угол между направлениями векторов  и . Момент силы направлен вдоль оси вращения твердого тела.

Следует помнить, что одна масса не является мерой инертности при вращательном движении твердого тела, так как при одной и той же массе инертность вращающихся тел может быть разной из-за различного ее распределения относительно оси вращения.

    Мерой инертности при вращательном движении твердого тела является момент инерции – скаляр, определяемый как

                                                   ,      

или для однородных тел

    ,                                            (6.4)

где ,  – масса малого или элементарного объема твердого тела;  – расстояние от этого объема до оси вращения.

Момент инерции сложного тела равен сумме моментов инерции его составных частей.

    Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела  относительно любой оси вращения равен моменту его инерции  относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы  на квадрат расстояния  между осями:

.                                         (6.5)

    Величина момента инерции тела зависит от массы тела и её распределения относительно оси вращения.

    Основной закон динамики вращательного движения твердого тела – геометрическая сумма моментов внешних сил , действующих на тело, равна скорости изменения момента импульса этого тела

,                                               (6.6)

где в случае тела, симметричного относительно неподвижной оси вращения,

                                              (6.7)

есть момент импульса твердого тела, совпадающий по направлению с вектором угловой скорости .

    При  с учетом (6.7) закон (6.6) имеет вид

,                                                  (6.8)

где угловое ускорение .

    Экспериментальная проверка выполнения закона (6.8) состоит в том, чтобы показать:

1) пропорциональность углового ускорения  моменту силы , т.е. , которое проверяется при неизменном моменте инерции  для двух разных моментов сил и :

.                                               (6.9)

2) обратную пропорциональность углового ускорения  моменту инерции , т.е. , проверяется при неизменном моменте силы  для двух разных моментов инерции  и :

.                                                           (6.10)

При  в течение времени  формула (6.6) преобразуется в формулу . Тогда для двух разных опытов можно проверить справедливость отношения

,

или

,                                             (6.11)

если отсчет времени производится от .

    Величины  и  – соответствующие изменения моментов импульсов твердого тела при начальной угловой скорости .

Для более полной и детальной информации следует обратиться к литературе, например [1-4].

На рис.6.1 показаны силы, действующие на различные элементы установки. Так, на груз  действуют:  – сила тяжести;  – сила реакции нити. На нить:  – сила со стороны груза ,  – сила со стороны блока;  – сила тяжести, если нить весомая. На блок:  – сила со стороны нити;  – сила реакции со стороны оси;  – сила тяжести блока, крестовины и четырех грузов массой  (последние две на рисунке не показаны). Поступательное движение груза , нити  и вращательное движение маятника можно описать с помощью второго и третьего законов Ньютона и основного закона динамики вращательного движения твердого тела (6.8):

                                               ,

                                         ,

,                            (6.12)

                                         , ,

где  – момент сил трения (тормозящий момент); , ,  – моменты сил , ,  соответственно;  – момент инерции крестовины с грузами  (); ,  – масса и ускорение нити.

    Полагаем, что нить нерастяжима, тогда ее ускорение  равно ускорению  груза . Нить не скользит по блоку. Это означает, что  равно тангенциальному ускорению  точек блока на его боковой поверхности: . При этом условии угловое ускорение ε можно найти из равенства

.                                             (6.13)

При условии невесомости нити  из второго и четвертого уравнений (6.12) следует, что . Моменты сил  и , так как силы пересекают ось вращения. Момент силы , согласно (6.3), равен . Поскольку  (см. рис.6.1),

.                                        (6.14)

Полагая в (6.12)  и учитывая (6.13) и (6.14), из (6.12) в проекциях на оси  и  получим

                                 (6.15)

Из (6.15) найдем момент силы :

                             (6.16)

и момент инерции вращающейся части установки:

.                                           (6.17)

    Из уравнения (6.16) видно, что момент силы в рассматриваемой системе тел зависит от массы груза  и радиуса блока. От этих же факторов зависит и ускорение . Движение груза  можно считать равноускоренным, так как сила  при постоянстве перечисленных ранее факторов не меняется. Тогда ускорение груза при его начальной скорости  определится по формуле

,                                          (6.18)

где  – высота, с которой опускается груз; – время его движения.

    Поскольку крестовина с грузами  начинает вращение из состояния покоя, ее угловую скорость в конечный момент движения груза  можно вычислить по формуле

,                                               (6.19)

а изменение ее момента импульса  за это время

.                                           (6.20)

В результате равенство (6.11) примет вид

.                                      (6.21)

    Измерив высоту  движения груза , время  его движения и радиус  блока, можно по формулам (6.18), (6.13), (6.16), (6.17), (6.19) вычислить                  , , , , .

 

Задание к работе

1. Сделайте заготовку протокола к лабораторной работе.

2. Получите допуск к выполнению лабораторной работы                            у преподавателя.

3. Установите грузики  на стержнях маятника на одинаковых расстояниях . Проверьте, соответствует ли установка грузов  состоянию равновесия системы. Для этого несколько раз приведите маятник во вращение, каждый раз давая ему возможность остановиться.

4. Прикрепите к концу нити груз  и, вращением маятника, установите его на некоторой, заранее выбранной, высоте .

5. Отпустите груз. Секундомером или другим устройством, предназначенным для измерения времени, измерьте время падения груза . Опыт повторите пять раз.

6. Передвиньте грузы  на другое расстояние  и проделайте еще пять опытов по измерению времени падения того же груза .

7. Повторите те же измерения, прикрепив к концу нити другой груз, причем выбранные расстояния  и  сохраните.

8. Результаты измерений занесите в табл.6.1.

Таблица 6.1

,	,	,	,	,					,
				1	2	3	4	5

 

9. Пользуясь формулами (6.18), (6.13), (6.16), (6.17), (6.19), (6.20), найдите линейные и угловые ускорения, моменты сил, моменты инерции, угловые скорости и моменты импульса для всех опытов.

10. Полученные результаты занесите в табл.6.2.

Таблица 6.2

№ п/п	,	,	,	,	,	,	,	,
1
2
3
4

 

11. По полученным данным проверьте справедливость равенств (6.9), (6.10) и (6.21).

12. Проведите статистическую обработку прямых многократных измерений времени падения груза  по методике, описанной в гл. 12. Результаты занесите в таблицу.

13. Получите оценку абсолютной погрешности косвенных измерений величин, приведенных в табл.6.2. Результаты занесите в таблицу.

14. Прикрепите к концу нити груз  и, вращением маятника, установите его на некоторой, заранее выбранной, высоте .

15. Отпустите груз. Секундомером или другим устройством, предназначенным для измерения времени, измерьте время падения груза . Опыт повторите пять раз.

16. Измените расстояние , переместив грузики  по стержням, и снова проделайте пункты 14,15.

17. Проделайте опыт для пяти различных значений расстояния , используя для этого всю длину стержней маятника.

18. Результаты измерений занесите в табл.6.3.

Таблица 6.3

№ п/п	,	,	,	,	,					,	,
					1	2	3	4	5
1
2
3
4
5

 

19. Рассчитайте момент инерции маятника Обербека с грузами, закрепленными на одинаковых расстояниях на всех четырех стержнях. Стержни считайте тонкими спицами. Численные значения масс и размеров барабана, стержней и грузов возьмите около лабораторной установки. Сравните со значениями, приведенными в табл.6.3.

20.  По данным табл.6.3 постройте зависимость . Определите из графика по точке его пересечения с осью ординат значение , когда .

21. Вычислите момент инерции маятника без грузов по формуле:

,  – момент инерции грузов, центры тяжести которых совмещены с осью вращения. Сравните полученное значение со значением, приведенном в табл.6.2.

22. Продлите график зависимости  в сторону больших , и при некотором значении  определите по графику .

23. Вычислите добавочное слагаемое к моменту инерции грузов (в соответствии с теоремой Штейнера)  и сравните его с теоретическим значением .

24. Сделайте вывод.

 

Контрольные вопросы

 

1. Какова цель данной лабораторной работы?

2. Покажите, что .

3. Что такое момент силы? Как определить модуль и направление момента силы?

4. Какая сила создает вращающий момент крестовины и как он определяется в данной работе? Выполнение каких условий необходимо, чтобы момент силы был постоянным?

5. Что такое угловая скорость? Как определить её направление?

6. Найдите величину и направление углового ускорения крестовины. Какими правилами при этом следует руководствоваться?

7. В чем заключается основной закон динамики вращательного движения абсолютно твердого тела? Сделайте запись в векторной форме.

8. Что такое момент инерции? От чего он зависит? Как рассчитать его для симметричных тел относительно неподвижной оси?

9. Что такое момент импульса материальной точки и тела? От чего он зависит? Как он определяется в данной работе?

10. Метод определения отношений ; ; . Какие условия необходимы, чтобы выполнялось каждое из приведенных равенств?