Истечение при переменном напоре

Задача об истечении жидкости при переменном напоре сводится к определению времени опорожнения или наполнения всего или некоторой части сосуда, в зависимости от начального уровня, формы и размеров сосуда и отверстия.

Подобные задачи встречаются при расчётах наполнения и опо­рож­нения резервуаров, цистерн, водохранилищ, бассейнов, шлю­зо­вых камер и др.

При переменном напоре имеет место неустановившееся движение жидкости, что делает неприемлемым обычное уравнение Бернулли. Поэтому полное время истечения разделяют на бесконечно ма­лые промежутки, в течение которых напор считается постоянным, а ис­те­чение жидкости – установившимся. Это позволяет использовать для решения задач полученные выше за­ви­симости и приводит к доста­точ­но точным результатам.

Рассмотрим простейший пример истечения жидкости в атмо­сфе­ру через донное отверстие площадью w из открытого вертикального цилиндрического сосуда, одинакового по всей высоте поперечного сечения F (рис. 8.4).

                              

             

Рис. 8.4

 

Пусть за время dt через отверстие вытекло dQ жидкости, равное , где Н – напор на уровне элементарного элемента dH, который мож­но считать постоянным;  – коэффициент расхода (изменяющейся в зависимости от напора, формы и размеров отверстия).

В действительности, за это время уровень жидкости в сосуде опустится на dH и объём жидкости в нём изменился на .

Вследствие неразрывности движения жидкости  или .

Отсюда

                                           .                                  (8.19)

Полное время опорожнения сосуда определяется в результате ин­те­грирования уравнения (8.19):

,

где  – начальный напор жидкости в сосуде.

Меняя пределы интегрирования в правой части уравнения, при­нимая  и вынося постоянные за знак интеграла, получим

               .                        (8.20)

Умножив и разделив правую часть уравнения (8.20) на , получим

                 .                            (8.21)

Из выражения (8.21) следует, что при сохранении постоянного напора в сосуде тот же объём жидкости пройдёт через отверстие за время t, вдвое меньшее, чем t, т.е. .

Формула (8.20) применима и для случая истечения жидкости из отверстия в боковой стенке сосуда. В этом случае напор Н _н от­счи­тывается от центра тяжести площади отверстия.

При частичном опорожнении сосуда применяется следующая зависимость:

                              .                                 (8.22)

 

Пример 8.1. Вода вытекает из малого незатопленного отверстия в вертикальной стенке при постоянном напоре Н. Высота рас­по­ло­жения отверстия над полом , струя достигает пола на рас­стоя­нии

 м. Диаметр отверстия d = 50 мм, j = 0,97. Определить расход Q.

Решение: По формуле (8.10) определяем Н:

.

Принимая коэффициент расхода m = 0,62, находим расход:

 м³/с.

Пример 8.2. Определить расход жидкости, перетекающей из ре­зер­вуара I в резервуар II (см. рис. 4.3), если диаметр отверстия в вер­тикальной стенке d = 0,2 мм, высота Н ₁ = 7 м, Н ₂ = 6 м, давление в I резервуаре р ₁ =2×10⁵ Па, а во II резервуаре р ₂ = 1,7×10⁵ Па, m = 0,62. Начальной скоростью пренебречь.

Решение: Определяем площадь отверстия:

 м².

Находим расход жидкости:

Пример 8.3. Определить расход воды и скорость ее истечения через круглое незатопленное отверстие диаметром d = 0,2 м, если
Н = 4 м, m = 0,62, j = 0,97. Скоростным напором пренебречь.

Решение: Определяем скорость истечения:

 м/с.

Площадь отверстия

 м².

Определяем расход воды через отверстие:

 м³/с.