Уравнение Бернулли для всего потока

 

Уравнение Бернулли для всего потока можно получить путем суммирования энергий всех струек, т.е. необходимо уравнение Бернулли для элементарной струйки вязкой жидкости (6.3) умножить на массовый расход жидкости  и проинтегрировать по сечению потока

                                     (6.6)

Этот интеграл можно вычислить, если ввести понятие о медленном или плавно изменяющемся потоке. Для такого потока радиус кривизны отдельных струек стремится к бесконечности. В этом случае доказано, что

Объединим под один интеграл сумму

,

так как  [м³/с] – объемный расход потока.

, где  – коэффициент Кориолиса, равный ;  – поправочный коэффициент скорости.

        Полученные выражения подставим в формулу (6.6) и запишем все три формы уравнения Бернулли для всего потока реальной жидкости:

, [Дж/кг];

, [м];

, [Па].

Необходимо подчеркнуть, что эти уравнения справедливы только для несжимаемой жидкости, для установившегося течения и плавно и медленно изменяющегося потока.

Движение жидкостей в трубопроводах

Режимы движения жидкости

При движении реальных жидкостей в различных гидросистемах требуется точная оценка потерь напора на преодоление гидрав­ли­ческих сопротивлений. Точный учёт этих потерь во многом оп­ре­деляет надёжность технических расчётов. Кроме того, это позволяет найти экономически целесообразное инженерное решение, об­ладаю­щее достаточной степенью совершенства. Для этого необхо­ди­мо иметь ясное представление о механизме движения жидкости.

В процессе исследований известный физик Л. Рейнольдс в 1883 го­ду подтвердил гипотезу о существовании двух режимов движения жид­кости. Это, прежде всего ламинарный режим движения жид­кости, соответствующий малым скоростям. Ламинарное движение можно рассматривать как движение отдельных слоёв жидкости, происходящее без перемешивания частиц. При более высоких скоростях движения жидкости наблюдается турбулентный режим («турбулентус» по-латыни – вихревой). Та­кое движение называют беспорядочным.

Количественная оценка гидравлических сопротивлений предопределяется режимом движения жидкости. Еще в Древнем Риме Франтиниус, занимаясь изучением движения воды по трубам, делал попытки оценить гидравлические сопротивления. Наибольший вклад в развитие этого вопроса дали работы второй половины XIX века. Основоположник классической механики Ньютон рассматривал и механику жидкости. Им получены законы внутреннего трения в предположении скольжения слоев жидкости относительно друг друга. В действительности это условие не всегда выполняется. Опыты показали, что при движении вязкой жидкости возможны две качественно отличные формы течения. Условия их существования и взаимного перехода были исследованы английским физиком Л.Рейнольдсом.          Было установлено, что при малых скоростях течения подкрашенные частицы жидкости распространяются вдоль трубы в виде нити, не перемешиваясь с соседними слоями жидкости. Жидкость движется слоями, скорость течения поперек трубы изменяется плавно. Такой режим движения назван ламинарным. Сила трения между слоями здесь может быть определена в соответствии с законом внутреннего трения Ньютона. Если средняя скорость течения превышает некоторую критическую скорость , окрашенная струя начинает размываться. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном режиме частицы жидкости перемещаются не только поступательно, но и в поперечном направлении, траектория их движения имеет случайную форму.

Если проследить за скоростями в какой-либо точке турбулентного потока в различные моменты времени, то эти скорости будут произвольно изменяться по величине и направлению, наблюдаются даже движения частиц навстречу основному потоку. Скорость в любой точке турбулентного потока, как говорят, непрерывно пульсирует.

Если при этом движение потока было установившимся, т.е. расход жидкости и средняя по потоку скорость с течением времени не изменялась, местное движение (возле рассматриваемой точки) при турбулентном режиме установившимся считаться не может вследствие пульсаций локальных скоростей. Изменение пульсационной составляющей такой местной скорости  протекает весьма быстро и не подчиняется какой-либо определенной закономерности.

Заметив действительные нормальные составляющие  местной скорости , изменяющиеся в течение некоторого отрезка времени , некоторой постоянной, получим осредненную местную скорость . Величина осредненной местной скорости определяется условием

.

Осреднение скорости за различные отрезки времени может давать и неодинаковые результаты. Только при достаточно больших  получается, что осредненные скорости в различные интервалы времени  одинаковы, т.е

Понятие осредненной местной скорости следует отличать от понятия о средней по сечению скорости

.

В то время как  – средняя по времени нормальная составляющая истинной скорости в данной точке, скорость  – средняя по сечению скорость, определяемая осреднением по площади сечения скоростей в разных его точках. Средняя по сечению скорость в турбулентном потоке получается путем двойного осреднения: сначала по времени в каждой точке течения, затем по площади сечения.

Измеряя скорость в какой-либо точке турбулентного потока с помощью обычно применяемых в технике приборов (например, трубки Пито-Прандтля), практически определяют именно фиксированную местную скорость. Обладая инерционностью, прибор не успевает реагировать на быстрые изменения (пульсации) измеряемой величины и практически показывает ее осредненную во времени величину, ее обозначают обычно без дополнительных символов – .

Важное значение имеет вопрос о критической скорости, т.е. скорости  при переходе через которую ламинарный режим движения переходит в турбулентный. Критическая скорость не остается одинаковой для жидкостей с различными коэффициентами кинематической вязкости  и при протекании по трубам разных диаметров. Рейнольдс показал, что режим движения в трубе определяется величиной безразмерного соотношения, названного впоследствии числом Рейнольдса . Согласно опытным данным, при  течение является ламинарным, в этом случае возмущения, вносимые в поток жидкости, затухают из-за действия вязкого трения. При больших значениях числа Рейнольдса вносимые в поток возмущения приводят к потери его устойчивости, наблюдается турбулизация потока. Значение  называют критическим числом Рейнольдса. Величину можно трактовать как соотношение между силой инерции, опрокидывающей частицу, и силой вязкого трения, препятствующей этому. Возрастание числа Рейнольдса влечет за собой уменьшение относительного влияния на поток стабилизирующей силы трения у стенки. С достижением  это приводит к потере устойчивости потока, к разрыву поперечной эпюры скорости и появлению пульсации скорости.

Однако если вести опыт в обратном направлении (понижать скорость), то переход турбулентного в ламинарное движение произойдет при другой скорости. Это говорит о том, что между ламинарным и турбулентным течением нет четкой границы, т.е. существует переходная область.

В этих опытах Рейнольдс впервые обнаружил, что переход из ламинарного движения в турбулентное обуславливается достижением критического значения числа Рейнольдса. По опытам самого Рейнольдса критическое число оказалось равным . Впоследствии им же было открыто существование нижнего критического значения , приблизительно равного 2000, что при  движение в трубе оставалось ламинарным, каковы бы ни были введенные возмущения. Вместе с тем было замечено, что путем гашения возмущений на входе в трубу или уменьшения начальной их интенсивности можно искусственно затянуть ламинарное движение в область значительно больших значений числа Рейнольдса. В частности, значение , полученное Рейнольдсом, объяснялось наличием плавного входа в трубу.

Для оценки режима движения жидкости Рейнольдс ввёл без­размерный критерий Re, который учитывает влияние скорости V, диаметра (характерного размера) , плотности r, а также ди­на­ми­ческой вязкости m:

                       или ,                                    (7.1)

где  – кинематическая вязкость.

Граница существования того или иного режима движения жид­кости определяется двумя критическими значениями числа Re: ниж­ним  и верхним .

Так, при Re < возможен только ламинарный режим, а при Re >  – только турбулентный режим, при  < Re <  на­блюдается неустойчивое состояние потока. При расчётах принято исходить из одного критического зна­че­ния числа Re = 2300, что приводит к большей надёжности в гидрав­ли­ческих расчётах. Критерий Рейнольдса удобен тем, что может при­меняться для формы живого сечения через гидравлический ра­диус. Например, для круглого сечения

                            ,            (7.2)

тогда

                                            .                                    (7.3)

Для сечения прямоугольной формы со сторонами b и h

,

тогда    

.

Критерий Рейнольдса является мерой отношения кине­ма­тической энергии жидкости к работе сил вязкого трения. От кри­терия Рейнольдса в общем случае зависят все безразмерные коэф­фи­циенты, входящие в расчётные зависимости, которые приме­ня­ются в практике гидравлических расчётов.

 

7.2. Основные формулы для расчета потерь за счет трения.

                  Опыты и график Никурадзе

Основными формулами при расчёте потерь за счет трения в напорных трубопроводах явля­ю­т­ся формулы Пуазейля (7.4) для ламинарного течения и Дарси-Вейсбаха (7.5) для ламинарного и турбулентного течений соответственно:

                                                                           (7.4)

                       .                          (7.5)

Применение этих формул связано с определением коэффициен­та l.

При ламинарном движении жидкости коэффициент l для труб определяется по формуле

                                              (7.6)                                           Систематические опыты по исследованию одновременного влияния на сопротивление трению равномерной шероховатости и различных режимов движения были проведены и опубликованы немецким ученым Никурадзе в 1933 г.

Шероховатость стенок создавалось наклеиванием на внутреннюю поверхность труб калиброванного песка, диаметр песчинок отождествлялся с высотой выступа шероховатости . Такую равномерную шероховатость называют равномерно-зернистой.

Каждая экспериментальная точка, соответствующая определенной величине  относительной поверхности  и числу , наносилась на график в логарифмической системе координат . Полученная Никурадзе зависимость , где  – радиус трубы, представлена на рис.10.1.

В пределах прямой 1 коэффициент зависит не от шерохо­ва­тости стенок трубы, а от числа Re (см. формулу 7.3). Это происходит потому, что при движении жидкости скорость у стенки равна нулю. Выступы шероховатости покрыты неподвижной жидкостью, и величина их не влияет на .

При турбулентном режиме есть область сопротивления, в которой трубы различной шероховатости имеют одинаковые коэффициенты сопротивления – область гидравлически гладких труб. Предполагается, что между турбулентным ядром потока, занимающим большую часть трубы, и стенкой лежит ламинарный подслой достаточной толщины. Прямая 2 представляет зависимость  для гидравлических гладких труб, у которых шероховатость меньше толщины ламинарного при­стенного слоя.

          

Рис. 7.1. График Никурадзе

Ламинарный подслой покрывает выступы шероховатости, и здесь  зависит только от критерия . С возрастанием скорости (увеличением ) ламинарный слой утончается, выступы шероховатости вторгаются в турбулентное ядро потока. При этом меняется сама природа гидравлического сопротивления. При ламинарном течении и в области гидравлически гладких труб сопротивления были связаны с внутренним трением в жидкости.

Коэффициент  для гидравлических гладких труб определяется по формуле Блазиуса (прямая 2):

                            .                                                (7.7)

Турбулентный поток обтекает выступы шероховатости с образованием вихревых областей. Давление на переднем склоне выступа больше, чем на заднем, и поток тормозится этим перепадом давления. В переходной области  определяется совместным влиянием числа  и шероховатости. Между линиями 2 и линией 3 слева располагается зона А, в ко­то­рой  зависит как от числа Рейнольдса, так и от шероховатости по­верхности стенок труб.

Для определения l в этой области может применяться формула 

А. Д. Альтшуля:

                           ,                                      (7.8)

где  – эквивалентная равномерно-зернистая шероховатость, определяемая опытным путем.

При дальнейшем увеличении  ламинарный подслой полностью срывается,  становится функцией только шероховатости, эта зона устойчивого турбулентного режима. В области Б коэффициент l зависит только от шероховатости.

Для определения l в этой области рекомендуется формула Никурадзе

                                  ,                                    (7.9)

где r – радиус трубы;  – абсолютная шероховатость трубы.

Сущеструют формулы Ф. А. Шевелёва, Н. З. Френкеля, Л. А. Тепакса, Б. Н. Шифринсона, Н. Ф. Фёдорова, А.Д.Альтшуля и других авторов.