Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2019-12-19 | 413 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Найдем точное аналитическое решение заданного дифференциального уравнения y(x) методом разделения переменных.
Запишем уравнение в виде и проинтегрируем обе части равенства с учетом начальных условий.
;
Из начальных условий найдем константу c:
, следовательно
Таким образом, аналитическое (точное) решение дифференциального уравнения
Значения точного решения ОДУ – y(x)
Вычислим значения полученного решения y (xi), где , на отрезке [1;6] с шагом изменения аргумента h=0.5:
Ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера и оценка погрешностей полученного решения по методу двойного просчета.
Выполним «ручной расчет» численного решения ОДУ методом Эйлера. Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию ye (x)) в первых 4-х точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5, т.е. на отрезке [1;3].
Для этого ОДУ записывают в виде y’=f(x,y).
Рекуррентная формула для определения очередного значения функции по методу Эйлера имеет вид: yi+1=yi+h×f(xi,yi), где , .
Таким образом, в нашем случае формула расчета имеет вид: , где i =0,1,2,3,4. Очередное значение аргумента функции рассчитывается по формуле .
Решение:
Задано ОДУ , с начальными условиями x0=1, y0=1 и шагом интегрирования h=0.5. Т.е. . Расчет 4-х точек решения ОДУ методом Эйлера:
,
,
,
,
Таким образом, численное решение ОДУ методом Эйлера есть табличная функция ye(x):
x | ye(x) |
1 | 1 |
1.5 | 2 |
2 | 2.75 |
2.5 | 3.477 |
3 | 4.196 |
Формула для оценки погрешности решения ОДУ методами Рунге-Кутты имеет следующий вид:
где p – порядок метода Рунге-Кутты. При этом в каждой точке хi по формуле, соответствующей методу, производится расчет yi с шагом h (yi(h)) и с шагом h/2 (yi(h/2)). Расчет по приведенной формуле называется методом двойного просчета или правилом Рунге.
Выполним оценку погрешностей полученного методом Эйлера решения ОДУ по этому правилу. Для этого необходимо решить ОДУ с шагом h/2=0.25.
, с начальными условиями x0=1, y0=1 и шагом интегрирования h=0.25
|
x1=1.25
x2=1.5
x3=1.75
x4=2
x5=2.25
x6=2.5
x7=2.75
x8=3
Оценим погрешность решения ОДУ методом Эйлера (или методом Рунге-Кутты 1 порядка, где p=1) по формуле: для каждой точки и сведем вычисления в таблицу:
x | ye(x)( h) | ye(x)( h/2) | R |
1 | 1 | 1 | |
1.25 | 1.5 | ||
1.5 | 2 | 1.917 | 0.083 |
1.75 | 2.308 | ||
2 | 2.75 | 2.687 | 0.063 |
2.25 | 3.059 | ||
2.5 | 3.477 | 3.427 | 0.05 |
2.75 | 3.792 | ||
3 | 4.196 | 4.155 | 0.041 |
Численное решение ОДУ методом Эйлера с использованием Mathcad
Найдем значения численного решения ОДУ методом Эйлера (функцию y1(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5 , используя математический пакет Mathcad:
Решение методом Эйлера (Рунге-Кутты 1 порядка) - ф-ция y1: Начальные условия: Формулы для расчета: Вывод всей таблицы-решения: |
Численное решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка с использованием Mathcad
Найдем значения численного решение ОДУ методом Рунге-Кутты 2 порядка (функцию y2(x)) во всех точках заданного отрезка [1;6] с шагом h=0.5 , используя математический пакет Mathcad, по расчетной формуле метода Рунге-Кутты 2 -го порядка:
:
Решение методом Рунге-Кутты 2 порядка - функция y2: Начальные условия: Формулы для расчета: Вывод всей таблицы-решения: |
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!