Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2019-12-18 | 97 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Как было сказано выше, матричный метод и метод Крамера применимы только к тем системам линейных уравнений, в которых число неизвестных равняется числу уравнений. Далее рассмотрим произвольные системы линейных уравнений.
Определение. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:
,
где aij – коэффициенты, а bi – постоянные. Решениями системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.
Определение. Если система имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. Если система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Определение. Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если более одного.
Определение. Для системы линейных уравнений матрица
А = называется матрицей системы, а матрица
А*= называется расширенной матрицей системы
Определение. Если b1, b2, …,bm = 0, то система называется однородной. однородная система всегда совместна, т.к. всегда имеет нулевое решение.
Элементарные преобразования систем
К элементарным преобразованиям относятся:
1)Прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого, умноженных на одно и то же число, не равное нулю.
2)Перестановка уравнений местами.
3)Удаление из системы уравнений, являющихся тождествами для всех х.
Теорема Кронекера – Капелли (условие совместности системы)
(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)
Теорема: Система совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.
|
RgA = RgA*.
Очевидно, что система (1) может быть записана в виде:
x1 + x2 + … + xn
Доказательство.
1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход А®А* не изменяют ранга.
2) Если RgA = RgA*, то это означает, что они имеют один и тот же базисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, те верна запись, приведенная выше.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений:
A =
~ . RgA = 2.
A* = RgA* = 3.
Система несовместна.
Пример. Определить совместность системы линейных уравнений.
А = ; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;
A* =
RgA* = 2.
Система совместна. Решения: x1 = 1; x2 =1/2.
Метод Гаусса
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Разделим обе части 1–го уравнения на a11 ¹ 0, затем:
1) умножим на а21 и вычтем из второго уравнения
2) умножим на а31 и вычтем из третьего уравнения
и т.д.
Получим:
, где d1j = a1j/a11, j = 2, 3, …, n+1.
dij = aij – ai1d1j i = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.
Далее повторяем эти же действия для второго уравнения системы, потом – для третьего и т.д.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
А* =
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: x3 = 2; x2 = 5; x1 = 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
, откуда получаем: z = 3; y = 2; x = 1.
Полученный ответ совпадает с ответом, полученным для данной системы методом Крамера и матричным методом.
|
Список используемой литературы
1. Курс высшей математики. Краткий конспект лекций. Ó Ларин Александр Александрович 2000 год.
2. Высшая математика для менеджеров Л.Г. Корсакова
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!