Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2019-11-28 | 136 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной:
Формулы 1 – 4 получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на
Рассмотрим дифференциал сложной функции. Пусть y сложная функция x: Дифференциал этой функции, используя формулу для производной сложной функции, можно записать в виде
.
Но есть дифференциал функции u, поэтому т. е.
Здесь дифференциал записан в том же виде, как и в формуле для дифференциала функции независимой переменной x, т. е. хотя аргумент u является не независимой переменной, а функцией x.
Следовательно, выражение дифференциала функции в виде произведения производной этой функции на дифференциал её аргумента справедливо независимо от того, является ли аргумент независимой переменной или функцией другой переменной. Это свойство называется инвариантностью (неизменностью) формы дифференциала.
С формально-технической точки зрения найти дифференциал функции – это «почти то же самое, что найти производную».
Пример.
Найти дифференциал функции
Решение. Перед тем, как находить производную или дифференциал, всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли как-нибудь упростить функцию (или запись функции) ещё до дифференцирования? В данном случае можно преобразовать корень и выполнить почленное деление аргумента синуса:
Функция сложная. Найдем производную, используя правило дифференцирования сложной функции два раза:
Запишем дифференциал, при этом снова представим в первоначальном виде:
Когда производная представляет собой дробь, значок обычно «прилепляют» в самом конце числителя (можно и справа на уровне дробной черты).
Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
Выше было показано, что приращение функции представимо в виде:
где функция является бесконечно малой функцией при стремлении аргумента к нулю. Так как то
В силу того, что второе слагаемое является бесконечно малым, то им можно пренебречь, а поэтому
А так как нахождение дифференциал значительно проще, чем нахождение приращения функции, то данная формула активно используется на практике.
Для приближенного вычисления значения функции применяется следующая формула:
Пример. Вычислить приближенно arctg 1,02, заменяя приращение функции ее дифференциалом.
Решение. Рассмотрим функцию Необходимо вычислить ее значение в точке . Представим данное значение в виде следующей суммы: Величины и выбираются так, чтобы в точке можно было бы достаточно легко вычислить значение функции и ее производной, а было бы достаточно малой величиной. С учетом этого, делаем вывод, что т.е.
Вычислим значение функции в точке .
Далее продифференцируем рассматриваемую функцию и найдем значение в точке
Итак,
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!