Решение задачи Коши методом Эйлера

 

Требуется найти функцию Y = Y (х), удовлетворяющую уравнению

dY / dx = f (x, Y)                                              (7.2)

и принимающую при x = x ₀ заданное значение Y ₀:

Y (x ₀) = Y ₀.                                               (7.3)

При этом будем для определённости считать, что реше­ние нужно получить для значений x > x ₀.

Из курса дифференциальных уравнений известно, что решение Y (x) задачи (7.2), (7.3) существует, един­ственно и является гладкой функцией, если правая часть f (x, Y)уравнения (7.2), являющаяся функцией двух переменных х, Y,удовлетворяет некоторым условиям гладкости [20]. Будем считать, что эти условия выполнены и существует единственное гладкое решение Y (x).

Простейшим численным ме­тодом решения задачи Коши для

обыкновенного диф­ференциального уравнения является метод Эйлера [7]. Он основан на разложении искомой функции Y (х)в ряд Тейлора в окрестностях узлов                х = x_i (i = 0, 1, …), в ко­тором отбрасываются все члены, содержащие производ­ные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в виде

Y (x_i + ∆ x_i)= Y (x_i) + Y ' (x_i)∙∆ x_i.                          (7.4)

Заменяем значения функции Y в узлах x_i значения­ми сеточной функции y_i. Кроме того, используя уравне­ние (7.2), полагаем

Y ' (x_i) = f (x_i, Y (x_i)) = f (x_i, y_i).

Будем считать для простоты узлы равноотстоящими, т. е. ∆ x_i = x_{i + 1}- x_i = h = = const (i = 0, 1,...). Учитывая вве­денные обозначения,из равенства (7.4) получаем

y_{i+ 1} = y_i + h ∙ f (x_i, y_i), i = 0, 1, …                       (7.5)

Полагая i = 0, с помощью соотношения (7.5) нахо­дим значение сеточной функции y ₁при х = x ₁:

y ₁ = y ₀ + h ∙ f (x ₀, y ₀).

Требуемое здесь значение у ₀задано начальным условием (7.3), т. е. у ₀ = Y (x ₀) = = Y ₀. Аналогично могут быть найдены значения сеточной функции в других узлах:

y ₂ = y ₁ + h ∙ f (x ₁, y ₁),

………………………

y_n = y_{n - 1} + h ∙ f (x _{n - 1}, y _{n - 1}).

Построенный алгоритм называется методом Эйлера. Разностная схема этого метода представлена соотношениями (7.5). Они имеют вид рекуррентных формул, с помощью которых значение сеточной функции y_{i + 1} в любом узле x_{i + 1}вычисляется по ее значению y_i в пре­дыдущем узле x_i. В связи с этим метод Эйлера относится к одношаговым методам.

Блок-схема алгоритма решения задачи Коши (7.2), (7.3) методом Эйлера изображена на рис. 7.1. Задаются начальные значения х, у ₀,а также величина

шага h и количество расчетных точек n. Решение получается в узлах х + h, х +

+2 h, …, х + nh. Вывод результатов предусмотрен на каждом шаге.

На рис. 7.2. дана геометрическая интерпретация метода Эйлера. Изображены первые два шага, т. е. проиллюстрировано вычисление сеточной функции в точках х ₁, х ₂. Интегральные кривые 0, 1, 2 описывают точные решения уравнения (7.2). При этом кривая 0 соответствует точному решению задачи Коши (7.2), (7.3), так как она проходит через начальную точку А (х ₀, y ₀). Точки В, С получены в результате численного решения задачи Коши методом Эйлера. Их отклонения от кривой 0 характеризуют погрешность метода. При выполнении каждого шага мы фактически попадаем на другую интегральную кривую. Отрезок АВ – отрезок касательной к кривой 0 в точке А, ее наклон характеризуется значением производной y ₀ = f (x ₀, y ₀).Касательная ВС уже проводится к другой

 

Рис. 7.1. Блок-схема метода Эйлера

 

 

Рис. 7.2. Иллюстрация метода Эйлера

интегральной кривой 1.Таким образом, погрешность метода Эйлера приводит к тому, что на каждом шаге решение переходит на другую интегральную кривую.

Метод Эйлера имеет первый порядок точности [8, 18], т.е. погрешность метода достаточно высока.

 

Метод Рунге-Кутта. Пример решения дифференциального уравнения

Наиболее распространенным явным одношаговым методом решения задачи Коши является метод Рунге – Кутта [7]. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведем схему Рунге – Кутта четвертого порядка. Алгоритм этого метода имеет следующий вид:

      (7.6)

Из формул (7.6) следует, что метод Рунге – Кутта требует на каждом шаге четырехкратного вычисления правой части уравнения f (x, у).

Метод Эйлера (7.5) может рассматриваться как метод Рунге – Кутта первого порядка точности. Метод Рунге – Кутта (7.6) требует большего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что дает возможность проводить расчеты с большим шагом. Другими словами, для получения результатов с одинаковой точностью в методе Эйлера потребуется значительно меньший шаг, чем в методе Рунге – Кутта.

Проведем сравнительную оценку рассмотренных методов на простом примере, позволяющем получить также и точное решение.

Пример. Решить задачу Коши

, Y (0) = 1, 0 x 1, h = 0,1.

Сформулированная  задача может быть решена известными из курса высшей математики методами. Опустив выкладки, запишем окончательное выражение для точного решения с учетом заданного начального условия. Оно имеет вид

.

Проведем теперь решение данной задачи численно с помощью рассмотренных выше методов. Расчет для двух точек (i = 1 и i = 2)  по формуле Эйлера (7.5):

;

.

Расчет для двух точек (i = 1 и i = 2)  по формулам Рунге – Кутта (7.6):

i = 1; ;

;

;

;

;

i = 2; ;

;

;

;

.

Результаты всех вычислений приведены в табл. 7.1. Как видно из этой таблицы, более точным является решение, полученное методом Рунге – Кутта. Анализ решения с использованием метода Эйлера позволяет проследить рост погрешности с возрастанием х _i. При х _i = 1 погрешность составляет 35%.

Таблица 7.1

Результаты численного решения задачи Коши

i	х i	у i
		Метод Эйлера	Метод Рунге-Кутта	Точное решение
0	0,0	1,000	1,000	1,000
1	0,1	1,1000	1,1109	1,1109
2	0,2	1,2204	1,2479	1,2479
3	0,3	1,3664	1,4195	1,4195
4	0,4	1,5447	1,6378	1,6378
5	0,5	1,7645	1,9209	1,9210
6	0,6	2,0377	2,2969	2,2970
7	0,7	2,3804	2,8106	2,8107
8	0,8	2,8138	3,5377	3,5380
9	0,9	3,3655	4,6144	4,6152
10	1,0	4,0695	6,3056	6,3080

С уменьшением шага h локальная погрешность метода Эйлера снизится. Если в рассматриваемом примере принять h = 0,05, то при х _i = 1 погрешность составляет уже 24% (у _i = 4,7897). Однако при уменьшении h возрастет число уз­лов, что приводит к увеличению объема вычислений. Поэтому метод Эйлера

применяется сравнительно редко. Наиболее употребительным одношаговым методом является метод Рунге – Кутта.