Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2019-08-07 | 446 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Нормальным уравнением плоскости называется её уравнение, записанное в виде
,
где - направляющие косинусы нормали плоскости, - расстояние от начала координат до плоскости.
Нормалью к плоскости называется вектор, направление которого совпадает с направлением прямой, проведённой через начало координат перпендикулярно данной плоскости. (Есть полная аналогия с нормалью к прямой на плоскости, с той лишь разницей, что нормальное уравнение прямой существует в двух измерениях, а нормальное уравнение плоскости - в трёх).
Пусть M - какая угодно точка пространства. Для нахождения отклонения точки M от плоскости следует в левую часть нормального уравнения плоскости подставить на место x, y и z подставить координаты этой точки.
Это правило позволяет найти и расстояние от точки M до плоскости: расстояние равно модулю отклонения, т.е.
,
так как расстояние не может быть отрицательным числом.
Общее уравнение плоскости
приводится к нормальному виду почленным умножением на нормирующий множитель, определяемый формулой
.
Знак нормирующего множителя берётся противоположным знаку свободного члена в общем уравнении плоскости.
Пример 6. Привести уравнение плоскости к нормальному виду.
Решение. Вычислим нормирующий множитель:
.
Знак нормирующего множителя положительный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим требуемое в условии примера нормальное уравнение плоскости:
.
Пример 7. Вычислить величину отклонения и расстояния от точки до прямой, если точка задана координатами (-2; -4; 3), а плоскость задана общим уравнением .
|
Решение. Сначала приведём уравнение плоскости к нормальному виду. Вычислим нормирующий множитель:
.
Знак нормирующего множителя отрицательный, то есть, противоположен знаку свободного члена в общем уравнении плоскости. Умножим общее уравнение почленно на нормирующий множитель и получим нормальное уравнение плоскости:
.
Вычислим отклонение точки от плоскости:
Найдём теперь расстояние от точки до плоскости как модуль отклонения:
Нормальное уравнение плоскости – описание и пример.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz.
Рассмотрим плоскость, которая удалена на расстояние p () единиц от начала координат в положительном направлении нормального вектора плоскости . Будем считать, что длина вектора равна единице. Тогда его координаты равны направляющим косинусам, то есть, , причем . Обозначим расстояние от точки до плоскости как , то есть, точка N лежит на плоскости и длина отрезка ON равна p. Для наглядности отметим все данные на чертеже.
Получим уравнение этой плоскости.
Возьмем точку трехмерного пространства . Тогда ее радиус вектор имеет координаты , то есть, (при необходимости смотрите раздел координаты радиус-вектора точки). Очевидно, что множество точек определяют описанную ранее плоскость тогда и только тогда, когда числовая проекция вектора на направление вектора равна p, то есть, (смотрите рисунок ниже).
Тогда определение скалярного произведения векторов и дает нам следующее равенство . Это же скалярное произведение в координатной форме представляется как . Сопоставление двух последних равенств дает нам искомое уравнение плоскости . Перенесем p в левую часть, и мы получим уравнение , которое называется нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Нормальное уравнение плоскости иногда называют нормированным уравнением плоскости.
Итак, нормальное уравнение плоскости вида задает в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, удаленную от начала координат на расстояние p в положительном направлении единичного нормального вектора плоскости .
|
Следует заметить, что косинусы зачастую явно не фигурирует в нормальном уравнении плоскости, так как и - это некоторые действительные числа, сумма квадратов которых равна единице.
Приведем пример нормального уравнения плоскости.
Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz уравнением в нормальном виде . Здесь , нормальный вектор плоскости имеет координаты , его длина равна единице, так как . Более того, заданная плоскость находится на расстоянии 7 единиц от начала координат в направлении вектора , так как p = 7.
Очевидно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости вида , в котором числа A, B и C таковы, что длина нормального вектора плоскости равна единице, а число D неотрицательно.
Осталось разобраться с вопросом: «Как узнать, действительно ли перед нами нормальное уравнение плоскости»? Ответить на него достаточно просто: если выполняются оба условия и , то мы имеем уравнение плоскости в нормальном виде, если же хотя бы одно из условий не выполняется, то уравнение плоскости не является нормальным. Рассмотрим пример.
Пример.
Есть ли среди указанных уравнений уравнения плоскости в нормальном виде?
Решение.
Начнем с первого уравнения. Проверим, равна ли длина нормального вектора плоскости единице. Вычислим длину: . Осталось убедиться, что число p в этом уравнении положительно. Это действительно так, так как . Таким образом, первое уравнение плоскости является уравнением плоскости в нормальном виде.
Второе уравнение плоскости не является нормальным уравнением плоскости, так как не выполняется условие (в этом уравнении ).
В третьем уравнении длина нормального вектора не равна единице: . Поэтому оно не является уравнением плоскости в нормальном виде.
Ответ:
только первое уравнение является нормальным уравнением плоскости.
К началу страницы
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!