Другие методы наибольших остатков

Другие квоты ещё меньше чем квота Друпа, поэтому в среднем распределяют ещё меньше мест по наибольшим остаткам. Наиболее известные из них являются следующие:

Квота Империали

(8)          ,

усиленная квота Империали

(9)         .

Метод наибольших остатков чувствителен к небольшому изменению числа голосов, числа мест для распределения. Известен парадокс штата Алабама, произошедший в конце XIX века, когда штат потерял одно место в палате представителей, не смотря на общее увеличение количества мест в Палате представителей. Было показано, что подобный эффект мог произойти и с другими штатами, если увеличения размера Палаты происходило в другое время или другом масштабе.

Проиллюстрируем данный парадокс на примере. Распределим методом квоты Хара 9 мест при том же распределении голосов. Квота в данном примере будет равна

.

Квота практически равна квоте Друпа при распределении 8 мест, но теперь необходимо распределить 2 дополнительных места, которые естественно достанутся не тем партиям, которые получили мандаты при распределении 8 мест при использовании квоты Хара.

Таблица 3. Распределение мест при использовании квоты Хара.

 Парадокс штата Алабама.

Партия	Голоса	Точное число мест	Целое число мест	Дополнительные места	Распределение мест
A	40500	3,64	3	1	4
B	30000	2,70	2	1	4
C	18000	1,62	1	0	1
D	11500	1,03	1	0	1
Сумма	100000	9,00	7	1	9

Партия С, ранее имевшая 2 места, при увеличении общего количества мест потеряла 1 место в парламенте, хотя, казалось бы, что каждая партия должна по крайней мее сохранить ранее полученные места.

Это оказалось политически неприемлемым, поэтому методы наибольших остатков в США больше не использовались, на смену им пришли методы делителей. Также было показано, что подобные проблемы могут возникнуть при изменении распределения вследствие роста населения штата и даже роста его доли в населении страны.

 

Методы делителей

 

Методы делителей возникли в качестве альтернативы методам наибольшего остатка. Они исключают парадоксальные ситуации при распределении мест по наибольшим остаткам, соответствующим образом подобрав квоту.

Метод д’Ондта

Нужно найти такую квоту, чтобы при распределении целой части от точного числа мест партии суммарно получали общее количество мест в парламенте.

Применение метода состоит в последовательном делении количества голосов (v) на соответствующие делители

(10)          ,

где k – количество полученных партией мест.

Рассмотрим пример распределения 6 мест, иллюстрирующий применение этого метода.

Таблица 4. Распределение мест при использовании метода Д’Ондта.

Партия	Голоса	v/1	v/2	v/3	Распределение мест
A	40500	40500(1)	20250(3)	13500(6)	3
B	30000	30000(2)	15000(5)	10000	2
C	18000	18000(4)	9000	6000	1
D	11500	11500	5750	3833,33	0
Сумма	100000				6

Места распределяются последовательно по наибольшим значениям в таблице (ранги указаны в скобках). Первое место получает партия A, имея 40500 голосов на одно место, второе B при 30000 голосах на место, третье A и так далее. В итоге партия A получила 3 места или 13500 голоса в расчете на каждый мандат. Партия D с 11500 голосами осталась без мест.

Таким образом, если выбрать квоту между 11500 и 13500, например 12000, то при распределении целой части от точного числа мест партии суммарно получат в точности 6 мест.

Таблица 5. Метод Д’Ондта.

Партия	Количество голосов	Точное число мест	Целое число Мест
A	40500	3,38	3
B	30000	2,50	2
C	18000	1,50	1
D	11500	0,96	0
Сумма	100000		6

Этот метод склонен распределять большее количество мест крупным партиям и при прочих равных условиях делает более выгодным образование объединений партий. Это единственный метод, который является монотонным по количеству голосов и способствует созданию коалиций.

Метод Сент-Лаге

Нужно найти такую квоту, чтобы при распределении округленного по обычным математическим правилам до ближайшего целого значения точного числа мест партии суммарно получали общее количество мест в парламенте.

Применение метода состоит в последовательном делении количества голосов на соответствующие делители

(11)              ,

где k – количество полученных партией мест. Обычно для удобства делят не на последовательность 0.5, 1.5, 2.5, …, а на 1, 3, 5, …, что эквивалентно. В реальных избирательных системах, например в Норвегии и Швеции, также используют модифицированный метод Сент-Лаге, при котором ряд делителей начинается с 1.4, 3, 5…, что защищает парламент от прохождения мало популярных, возможно, экстремистских партий.

Рассмотрим пример распределения 6 мест, иллюстрирующий применение этого метода.

Таблица 6. Распределение мест при использовании метода Сент-Лаге.

Партия	Голоса	v/1	v/3	v/5	Распределение мест
A	40000	40500(1)	13500(4)	8100	2
B	30000	30000(2)	10000(6)	6000	2
C	18000	18000(3)	6000	3600	1
D	12000	11500(5)	3833,33	2300	1
Сумма	100000				6

Распределение мест происходит последовательно, аналогично методу д'Ондта. В данном примере квота будет находиться в границах между 16200 (8100*2) и 20000 (10000*2), например 18000.

Таблица 7. Метод Сент-Лаге.

Партия	Голоса	Точное число мест	Округленное число мест
A	40000	2,25	2
B	30000	1,67	2
C	18000	1,00	1
D	12000	0,64	1
Сумма	100000		6

При округлении с помощью обычных арифметических правил до ближайшего целого получим в сумме 6 мест.

Этот метод в среднем не дает преимущество ни малым, ни крупным партиям и не стимулирует процессы объединения и раскола. Кроме того, из всех методов делителей он реже всего нарушает свойство близости к квоте. Балински и Янг [11] рекомендуют этот метод для практического применения.

Другие методы делителей

Любая возрастающая последовательность, k -ый элемент которой находится между числами k и k +1, может быть использована для применения метода делителей. Так как места распределяются последовательно, то ситуация с парадоксом штата Алабама возникнуть не может. Эти методы исключают возможность появления и некоторых других парадоксов, поэтому методы делителей сейчас более распространены. Основной недостаток этих методов состоит в том, что итоговое распределение может отличаться от точного числа мест, рассчитанного по квоте Хара, более чем на 1.

Среди наиболее известных из предложенных методов стоит выделить следующие:

датская система

(12)            ,

среднее геометрическое

(13)          ,

среднее гармоническое

(14)      ,

наименьший делитель

(15)                 .

Метод д'Ондта удовлетворят свойству близости квоте снизу (не нарушает нижней границы), а метод наименьшего делителя удовлетворят свойству близости квоте сверху (не нарушает верхней границы). Стоит отметить, что частота нарушения свойства близости к квоте у других методов сильно различается. Наилучшим в этом смысле является метод Сент-Лаге.

Альтернативой, которая лишена многих недостатков методов наибольшего остатка и методов делителей, является метод квоты, разработанный Балински и Янгом [7].

 

Метод квоты

 

Метод квоты - итеративный метод, распределяющий места последовательно.

1. .

2. Пусть - распределение S мест, тогда S+1 место достанется партии j, у которой . Тогда для  и  для .

Балински и Янг доказали, что метод квоты удовлетворяет свойствам близости к квоте и монотонности по числу мест. Они описали класс рекурсивных методов, удовлетворяющих свойствам близости к квоте и монотонности по числу мест.

Обобщенный метод квоты

Пусть  - множество партий, для которых добавление одного места не нарушит нижнюю границу свойства близости к квоте, - соответственно верхнюю границу свойства близости к квоте, тогда процедура описывается следующим образом

1. .

2. Пусть - распределение S мест, тогда S+1 место достанется партии  и  для .

Стоит отметить, что множество  никогда не пусто. Среди данных методов выделяют квота-д’Ондт метод, квота-Сент-Лаге метод и другие. Различаются они тем, каким принципом руководствоваться при выборе партии, которой достанется дополнительное место.

 

Порядковые методы

 

Порядковые методы в отличие от кардинальных используют всю информацию о предпочтениях избирателей. Из-за сложности процедур эти методы практически не применяют в реальных выборах. Основная проблема не в подсчете, а в сложности их понимания избирателями.

Компромисс большинства

Этот метод использует всю информацию о предпочтениях. Определим множество наилучших альтернатив для i-го индивида

(16)      

для , где .

При  множество это множество недоминируемых элементов, то есть первые в предпочтениях элементы, которые используется в кардинальных методах. Правило выбора определяется следующим образом

(17)             ,

где .

Итоговый выбор

(18)       и ,

где такое, что

Ø,

    - количество избирателей, которые предпочитают .

Этот метод является обобщением процедур типа q-Парето разобранных в [3, 4, 5].

Правило передачи голосов

Это метод пропорционального представительства, который не является списочным голосованием. Избиратели голосуют за кандидатов, многие из которых пройдут в парламент. Русскоязычный термин (эквивалент англоязычного “single transferable vote”) введен в [1].

Избиратели указывают на бюллетенях свои предпочтения, причем необязательно ранжировать всех кандидатов, нужно отметить только тех из них, которых действительно желают видеть в парламенте.

Проиллюстрируем метод примером из [15]. 100 избирателей принимают участие в выборах 3 представителей из 7 возможных кандидатов. Предпочтения групп избирателей, указанные в бюллетенях, следующие:

15 избирателей.

15 избирателей,

8 избирателей,

3 избирателей,

20 избирателей,

9 избирателей,

   17 избирателей,

   13 избирателей.

Для прохождения в парламент необходимо набрать количество голосов, равное квоте Друпа

.

При этом голоса будут переходить от одного кандидата к другому по мере выявления победителей и проигравших.

Таблица 8. Распределение мест при использовании правила передачи голосов.

Кандидат	1-ый подсчет	2-ой подсчет	3-ий подсчет	4-ый подсчет	5-ый подсчет	6-ой подсчет
P	30	-4=26	26	26	26	26
Q	8	+2=10	+5=15	15	15	15
R	3	+2=5	-5=0	0	0	0
S	20	20	20	+9=29	-3=26	26
T	9	9	9	-9=0	0	0
U	17	17	17	17	17	17
V	13	13	13	13	13	-13=0
Непередаваемые голоса	-	-	-	-	+3=3	+13=16

В данном примере кандидат P набрал наибольшее количество первых альтернатив (30 голосов), что на 4 больше, чем необходимо по квоте. Эти 4 голоса передаются следующему по предпочтениям кандидату, в данном случае кандидатам Q и R. Так как кандидатов набравших квоту больше нет, то на следующем шаге находится кандидат с наименьшим числом голосов, а именно кандидат R (с 5 голосами), и его голоса передаются другим кандидатам (следующий по предпочтениям избирателей - кандидат Q). Далее голоса переходят от кандидата T к кандидату S, который набирает необходимую квоту, и остаток его голосов попадает в категорию непередаваемых голосов, так как избиратели не указали в бюллетенях следующую по предпочтениям альтернативу. На последнем шаге исключается кандидат V, чьи голоса также попадают в категорию непередаваемых. В итоге побеждают кандидаты P, S и U, причем кандидат U в отличие от остальных так и не набрал квоту.

Правило передачи голосов, являясь системой пропорционального представительства, имеет много общего с мажоритарной системой выборов. Он дает возможность дать широкое представительство кандидатам, представляющим территории.

Преимуществом данного метода также являются предоставление большей свободы избирателям. Они не обязаны ограничиваться одним выбором, а могут проголосовать за нескольких кандидатов, в том числе и от разных партий. При этом голоса не перейдут к нежелательным кандидатам, так как их избиратели их не отмечают. Таким образом, метод дает возможность дать представительство неорганизованным группам, кроме того, метод значительно уменьшает проблемы связанные с определением границ и размеров избирательных округов (джерримандеринг).

Технические рекомендации по применению и описание реального использования метода на выборах в начале XX века можно найти в [14]. В США начала века в отсутствии европейской системы списочного голосования система единого передаваемого голоса являлась синонимом пропорционального представительства.

Недостатками применения метода являются сложность подсчета голосов и некоторая случайность при выборе бюллетеней, которые должны передаваться. В начале века их действительно брали случайным образом и перекладывали ящики с бюллетенями других кандидатов. Таким образом, процесс подсчета в некоторых случаях исчислялся неделями. При современной компьютерной обработке процесс убыстряется, но все равно будет намного дольше подсчета голосов при обычном голосовании.

Этот метод может привести к следующему эффекту. Если большинство избирателей голосует за кандидата от партии A, а на второе место ставят кандидатов других партий, то при обычном голосовании за партии (партийные списки) эта партия A получила бы большинство, но при системе единого передаваемого голоса большинство эта партия уже не получит. Это не позволяет партиям с единственным (или несколькими) популярными политиками провести за собой ещё нескольких, никому неизвестных кандидатов. Система стимулирует политическую конкуренцию.