Практические работы по предмету «архитектура компьютеров»

Практические работы по предмету «АРХИТЕКТУРА КОМПЬЮТЕРОВ»

«Арифметические основы ЭВМ»

Цель. Изучить позиционные системы счисления и их применение в вычислительной технике.

Студенты должны:

Знать:

· определение позиционной системы счисления

· представление чисел в различных системах счисления;

· правила выполнения арифметических операций над числами в различных системах счисления;

· правила выполнения арифметических операций над двоичными числами без знака;

· правила представления чисел в обратном и дополнительном кодах;

· свойства чисел в дополнительном коде и арифметические операции над ними.

Уметь:

§ представлять числа в позиционной записи;

§ переводить числа из одной системы счисления в другую, используя их взаимосвязь и алгоритмы перевода;

§ выполнять арифметические действия над двоичными числами без знака.

§ представлять числа со знаком в прямом и дополнительном кодах;

§ выполнять операции сложения и вычитания над двоичными числами в дополнительном код.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

«ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Основное требование к ЭВМ – обеспечить возможность кодировать и хранить представленные определенным образом числа, а также выполнять операции над ними.

Алфавит системы счисления – уникальные символы с помощью которых записываются числа. Для всех систем счисления алфавит ничинается с 0. В алфавите систем счисления с основанием в от 2 до 10 используются цифры от 0 до 9, с основанием от 11 до 36 испольуются цифры от 0 до 9, а далее добавляются буквы латинского алвафита. Самая старшая цифра алфавита на 1 меньше основания системы счисения.

При записи числа в различных системах счисления пользуются указателями оснований используемых систем. Это может быть справа внизу маленькая цифра или в конце буква латинского алфавита D, B, H, O:

D (decimal) - десятичный;

B (binary) - двоичный;

H (hexadcimal) - шестнадцатеричный;

O (octal) восьмеричный.

Например, 35 или 35D - обе записи обозначают число десятичное число 35.

100011₂ или 100011B – обозначают одно и тоже двоичное число 100011.

Числа могут быть записаны в различных системах счисления. Наиболее привычная для нас – десятичная система счисления. В этой системе принят счет десятками, основанием системы является число 10 и используется 10 основных цифр. Размещая их на различных позициях (придавая им различный вес), можно выразить любое число.

По такому принципу можно построить систему счисления с произвольным основанием b. В общем случае любое число N в позиционной записи представляется так:

N = (P_n P_n-1 P_n-2 … P₁ P₀, P_-1 P_-2 … P_-m) _b, где

b – целое положительное число фиксированное число (основание системы счисления);

P_i – целое число (0 ≤ Р_i ≤ b-1, I = -m, … -2, -1, 0, 1, 2, … n) – называется основанием системы.

Позиционные цифры называют еще позиционными, разрядными или весовыми коэффициентами.

Указанное представление является символической записью суммы членов степенного полинома с соответствующими весовыми коэффициентами P_i вида:

N = P_nbⁿ + P_n-1b^n-1 + …+ P₁b¹ + P₀b⁰ + P_-1b^-1 + … + P_-mb^-m =

Степени основания системы счисления называются весами.

Десятичная система счисления

Рассмотрим какое-нибудь число, например 2358765. Каждая из цифр несет двойную информацию:

Двоичная система счисления

В какой бы форме ни представлялась подлежащая обработке информация, она в конечном итоге должна быть переведена на компьютерный язык, доступный для автоматической обработки данных. Это язык чисел, причем чисел не обычных (десятичных), а двоичных, алфавит которых состоит из двух цифр 0 и 1.

Как же получить запись числа в двоичной системе счисления? Нужно представить число как сумму степени двойки и выписать коэффициенты такого представления. Примеры записи чисел в двоичной системе счисления представлены в таблице 1:

Таблица 1.

 

Для десятичной дроби или дробной части числа точный перевод возможен, если она кратна 5. Но как же поступать, если не кратна пяти? Существуют правила перевода целой и дробной частей числа.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Определите наибольшее основание счисления, к которой относится указанное число:

111, 777, 8989, 10232, 23234, 5236, 10102, 10105, 665651, 202057, 4421

Запишите соответствующие десятичным числам от 0 до 30 числа в системах счисления: 3, 5, 7, 9, 11, 13,15, 20, 25, 30,

 

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. Представьте следующие числа в виде позиционной записи:

576; 842,3; 1924,803; 10000; 0100,00; 0,002

2. Имеются позиционные записи десятичных чисел:

8×10² + 5×10¹ + 3×10⁰ + 7×10^-1 + 6×10^-2;

0×10⁴ + 1×10³ + 8×10² + 4×10¹ + 0×10⁰ + 0×10^-1 + 9×10^-2;

9×10⁵ + 4×10³ + 3×10⁰ + 4×10^-2 + 4×10^-3

Чему равны сами числа?

3. Запишите алфавит 4-ричной, 7-ричной, 12-ричной систем счисления.

4. Выполнить задание, указанное в карточке:

перевести указанное число в 8-ную и 16-ную системы счисления и выполнить проверку целой части чисел;

перевести указанное число в 2-ную и 2-10-ную системы счисления, выполнить проверку целой и дробной части числа в 2-ной системе счисления;

перевести указанное число в 8-ную или 16-ную систему счисления, используя их взаимосвязь с 2-ной системой счисления; выполнить проверку целой и дробной части числа исходного и полученного числа;

перевести указанное число в 2-ной системе счисления в 10-ную, 8-ную и 16-ную системы счисления и выполнить проверку целой и дробной части чисел.

«АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ДВОИЧНЫМИ ЧИСЛАМИ БЕЗ ЗНАКА»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Правила выполнения арифметических операций над числами в двоичном коде представлены в таблице:

 

Сложение	Вычитание	Умножение
0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 0 и единица переноса в старший разряд	0 - 0 = 0 1 - 1 = 0 1 - 0 = 1 0 - 1 = 1 единица, занятая в старшем разряде, переходит в младший разряд как две единицы	0 ´ 0 = 0 0 ´ 1 = 0 1 ´ 0 = 0 1 ´ 1 = 1 Умножение и деление выполняется аналогично этим действиям в десятичной системе счисления

СЛОЖЕНИЕ

1		1 1 1		1 1 1	единицы переноса
+1010		+1111		+101,011
				1,11
				111,001

 

Сложение трех единиц:

	1	=0 и единица переноса в старший разряд
1

 

Сложение четырех единиц:

 

			=0 и единица переноса в старший разряд
	1
		1	=0 и единица переноса в старший разряд
1	1

ВЫЧИТАНИЕ

		11 11 11
		· · ·
-1011		-1 0 0 0		-101
				10,1
		1 1 1		10,1

УМНОЖЕНИЕ

		1)					х1			1,								2)				х1			1,
											0,															0,
																								1,
									1,

ДЕЛЕНИЕ

-1										-1
															1,				1…
		-1									-1
													-1
															-1
																	-1

Таблица 1.

№	Весовые значения разрядов и коды чисел	Числа
	27	26	25	24	23	22	21	20	,	2-1	2-2	2-3	2-4
									,	0,5	0,25	0,125	0,0625
ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
									,					41,25
									,					13,1875
									,					57,5
									,					27,625
									,					17,5
									,					2,125
									,					46,875
									,					7,5
РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
									,					58,4375
									,					29,875
									,					37,1875
									.					6.25

 

1. 41,25 + 13,1875 = 54,4375

+							,
							,
							,

2. 57,5 – 27,625 = 29,875

-

,

,

,

3. 17,5 ´ 2,125 = 31,1875

						´1				1,
								0,
							1,

4. 46,875: 7,5 = 6,25

Деление выполняется так же как над числами в десятичной системе счисления.

 

-1					0,	1’					1,	1’
											0,
	-1
					-1

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. Выполнить задание, указанное в карточке:

выполнить указанные арифметические действия над числами в 10-ной системе счисления.

перевести числа, заданные в 10-ной системе счисления в двоичную систему счисления;

выполнить указанные арифметические действия над числами в двоичной системе счисления и проверить результат.

2. Для перевода исходных чисел в двоичную систему счисления и проверки результата использовать таблицу 1.

 

«ПРЕДСТВАЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПРЯМОМ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Существует несколько соглашений о едином формате представления положительных и отрицательных чисел. Все их объединяет то, что самый старший бит слова (разряд, имеющий самый большой вес) является битом хранения знака или знаковым разрядом. Все последующие биты слова представляют значащие разряды числа. Значение 1 в знаковом разряде интерпретируется как представление всем словом отрицательного числа.

Простейшим форматом, который использует знаковый разряд является прямой код.

 

								=	+18
								=	-18
Знаковый разряд

 

Как и в прямом, так и дополнительном коде старший разряд в разрядной сетке отводится для представления знака числа. Остальные разряды интерпретируются не так как в прямом коде.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

Выполнить задание:

представить заданные числа в прямом коде;

представить заданные числа в дополнительном коде, используя операцию отрицания и таблицу весов.

 

«ОПЕРАЦИИ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ НАД ЧИСЛАМИ В ДОПОЛНИТЕЛЬНОМ КОДЕ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Выполнение операции рассмотрим на примерах. Если результат операции должен быть положительным, получается код положительного числа в дополнительном коде, а если отрицательным – код отрицательного числа. При выполнении операции могут возникать переносы в старший разряд и переполнение разрядной сетки. При переносе старший (самый левый бит) игнорируется. При переполнении необходимо представить оба слагаемых в расширенной разрядной сетке и выполнить операцию сложения в новой разрядной сетке. Выполняем действия над числами в десятичной и двоичной системах счисления. Если результата – отрицательное число, для проверки нужно выполнить над ним операцию отрицания; если получим противоположное ему положительное число, значит сложение выполнено правильно. При выполнении операции сложения слагаемые записываются в заданном представлении чисел: если слагаемое положительное – оно записывается как положительное число в дополнительном коде; если слагаемое отрицательное число, оно записывается как отрицательное число в дополнительном коде. Правильность записи чисел в нижеприведенных примерах можно проверить используя таблицу 2 «Варианты двоичного 4-разрядного представления целых чисел».

Сложение. Обозначим слагаемые как S₁ и S₂

S1

- 7

+1

S2

+5

- 2

=-2

Проверка:

операция

отрицания

+0

=+2

S1

- 4

+1

S2

+4

1

= 0

перенос

S1

+3

+0

S2

+4

+7

1

=+7

S1

- 4

+1

S2

- 1

- 5

1

=-5

перенос

Проверка:

операция

отрицания

+0

=+5

S1

+5

+0

S2

+4

+9

=+9

переполнение

Выполним расширение разрядной сетки до 8 разрядов:

 

								=+9

 

S1

- 7

+1

S2

- 6

-13

=-13

переполнение

 

Выполним расширение разрядной сетки до 8 разрядов:

 

1									=-13	Перенос
Выполним проверку:
	+0
									=+13

 

Вычитание. Обозначим уменьшаемое как М, а вычитаемое как S

Для выполнения операции вычитания необходимо предварительно выполнить операцию отрицания над вычитаемым, а затем сложить результат с уменьшаемым по правилам сложения чисел в дополнительном коде.

В случаях переноса, переполнения, расширения разрядной сетки, проверке результат, если получено отрицательное число, действия аналогичны тем, которые производятся при операции сложения.

 

М

+2

1)

=

=

-7

=

S

+7

+7

- 5

-7

2)

М +

+0

=

-5

Проверка:

операция

отрицания

=

+5

 

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

1. Выполнить задание операции сложения и вычитания над числами в дополнительном коде.

2. Отметить все возникающие переносы и переполнения. В случае переполнения выполнить расширение разрядной сетки

3. Выполнить проверку результатов

 

 

Практические работы по предмету «АРХИТЕКТУРА КОМПЬЮТЕРОВ»

«Арифметические основы ЭВМ»

Цель. Изучить позиционные системы счисления и их применение в вычислительной технике.

Студенты должны:

Знать:

· определение позиционной системы счисления

· представление чисел в различных системах счисления;

· правила выполнения арифметических операций над числами в различных системах счисления;

· правила выполнения арифметических операций над двоичными числами без знака;

· правила представления чисел в обратном и дополнительном кодах;

· свойства чисел в дополнительном коде и арифметические операции над ними.

Уметь:

§ представлять числа в позиционной записи;

§ переводить числа из одной системы счисления в другую, используя их взаимосвязь и алгоритмы перевода;

§ выполнять арифметические действия над двоичными числами без знака.

§ представлять числа со знаком в прямом и дополнительном кодах;

§ выполнять операции сложения и вычитания над двоичными числами в дополнительном код.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ 1

«ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Основное требование к ЭВМ – обеспечить возможность кодировать и хранить представленные определенным образом числа, а также выполнять операции над ними.

Алфавит системы счисления – уникальные символы с помощью которых записываются числа. Для всех систем счисления алфавит ничинается с 0. В алфавите систем счисления с основанием в от 2 до 10 используются цифры от 0 до 9, с основанием от 11 до 36 испольуются цифры от 0 до 9, а далее добавляются буквы латинского алвафита. Самая старшая цифра алфавита на 1 меньше основания системы счисения.

При записи числа в различных системах счисления пользуются указателями оснований используемых систем. Это может быть справа внизу маленькая цифра или в конце буква латинского алфавита D, B, H, O:

D (decimal) - десятичный;

B (binary) - двоичный;

H (hexadcimal) - шестнадцатеричный;

O (octal) восьмеричный.

Например, 35 или 35D - обе записи обозначают число десятичное число 35.

100011₂ или 100011B – обозначают одно и тоже двоичное число 100011.

Числа могут быть записаны в различных системах счисления. Наиболее привычная для нас – десятичная система счисления. В этой системе принят счет десятками, основанием системы является число 10 и используется 10 основных цифр. Размещая их на различных позициях (придавая им различный вес), можно выразить любое число.

По такому принципу можно построить систему счисления с произвольным основанием b. В общем случае любое число N в позиционной записи представляется так:

N = (P_n P_n-1 P_n-2 … P₁ P₀, P_-1 P_-2 … P_-m) _b, где

b – целое положительное число фиксированное число (основание системы счисления);

P_i – целое число (0 ≤ Р_i ≤ b-1, I = -m, … -2, -1, 0, 1, 2, … n) – называется основанием системы.

Позиционные цифры называют еще позиционными, разрядными или весовыми коэффициентами.

Указанное представление является символической записью суммы членов степенного полинома с соответствующими весовыми коэффициентами P_i вида:

N = P_nbⁿ + P_n-1b^n-1 + …+ P₁b¹ + P₀b⁰ + P_-1b^-1 + … + P_-mb^-m =

Степени основания системы счисления называются весами.