Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-05-14 | 740 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема.
Если члены знакоположительного ряда могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции так, что , то:
1) если сходится, то сходится и ряд
2) если расходится, то расходится также и ряд
Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции y=f(x), основанием которой служит отрезок оси Ох от х=1 до х= n.
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки [1;2],[2;3],... Учитывая геометрический смысл определенного интеграла, запишем:
или
или
Случай 1. Несобственный интеграл сходится, т.е. . Поскольку , то с учетом неравенства имеем: , т.е. . Так как последовательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху (числом ), то, по признаку существования предела, имеет предел.
Следовательно, ряд сходится.
Случай 2. Несобственный интеграл расходится. Тогда и интегралы неограниченно возрастают при . Учитывая, что , получаем, что при . Следовательно, данный ряд расходится.
Ряд ,
где p>0 – действительное число, называется обобщенным гармоническим рядом. Для исследования ряда на сходимость применим интегральный признак Коши.
Рассмотрим функцию . Эта функция непрерывна, монотонно убывает на промежутке и . При имеем:
При p=1 имеем гармонический ряд , который расходится. Итак, ряд сходится при , расходится при . В частности, ряд сходится.
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
,
где для всех .
Теорема (достаточный признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда).
Знакочередующийся ряд сходится, если:
|
1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е.
2. Общий член ряда стремится к нулю:
При этом сумма S ряда удовлетворяет неравенствам
Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов ряда. Имеем
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, положительно. Следовательно, сумма и возрастает с возрастанием номера 2m.
С другой стороны, можно переписать так:
Легко видеть, что . Таким образом, последовательность возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет предел , причем .
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2m+1) членов ряда. Очевидно, что . Отсюда следует, что , т.к. в силу второго условия теоремы. Итак, как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд сходится, причем .
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема.
Пусть дан знакопеременный ряд
Если сходится ряд ,
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный ряд .
Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов и :
Очевидно, что для всех . Но ряд сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов. Следовательно, на основании признака сравнения сходится и ряд . Поскольку данный знакопеременный ряд представляет собой разность двух сходящихся рядов
то, на основании свойства 2 числовых рядов, он сходится.
Обратное утверждение неверно.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!