Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2019-08-04 | 131 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Постулатами системы (исходными правилами) являются все правила натуральной системы исчисления высказываний и правила для кванторов.
Правила вывода для выражений с кванторами:
|
|
∀и:
|
|
∃в:
|
|
|
Понятие вывода и доказательства остаются формально теми же, которые были сформулированы в исчислении высказываний, разница лишь в том, что при ссылке на правила вывода теперь имеются в виду и вновь введенные правила для выражений с кванторами. К числу указанных в предыдущем параграфе эвристических принципов введения допущений может быть добавлен еще один.
Если в выводе получена формула ∃ х А(х} и нужно вывести В, не выводимую непосредственно из имеющихся формул, вводим допущение А(х), применяя способ рассуждения согласно ∃и.
Рассмотрим несколько примеров выводов.
Схема доказательства формул вида: ∃x A(x) ⊃∀xA(x):
+ 1. ∃x A(x) [1].
+ 2. A(x) [2].
3. ∃x A(x) [2] – из 2, ∃в.
4. A(x) [1] – из 1,3, в.
5. ∀xA(x) [1] – из 4, ∀в.
6. ∃x A(x) ⊃∀xA(x) [ - ] – из 5, ⊃в.
Схемы доказательств рассмотренных в аксиоматической системе аксиом «введения ∀ в консеквент» и «введения ∃ в антецедент»:
Предполагается, что А не содержит х свободно.
+ 1. ∀x (A ⊃ B(x)) [1].
+ 2. А [2].
3. A ⊃ В(х) [1] —из 1, ∀и.
4. В(х) [1, 2] —из3 и 2, ⊃и.
5. ∀x B(x)[1, 2] —из 4, ∀в.
6. A⊃∀x B (x) [1] —из5, ⊃в.
7. ∀x (A ⊃ B(x)) ⊃ (A ⊃∀x B(x)) [ - ] —из 6, ⊃в.
|
+ 1. A ⊃ (В(х) ⊃ A) [1].
+ 2. ∃x B(x) [2].
+ 3. В(х) [З].
4. В(х) ⊃ A [1]—из 1, ∀и.
5. А [1, 3] — из 3, 4, ⊃в.
6. A [1, 2]— из 5, ∃и.
7. ∃x B(x) ⊃ А [1]—из 6, ⊃в.
8. ∃x (B(x) ⊃ А) ⊃ (∃x B(x) ⊃ А) — из 7, ⊃в.
Сформулированное здесь исчисление, как и приведенная выше аксиоматическая система исчисления предикатов, представляет собой адекватную формализацию понятий логического следования и закона логики. Это значит, что для них справедливы теоремы:
Г ⊨ B е. т. е. Г ⊢ B и ⊨ A е. т. е. ⊢ A.
В заключение параграфа в дополнение к ранее сформулированным эквивалентностям языка логики высказываний приведем схемы наиболее важных законов логики, относящихся к языку логики предикатов, которые читатель может использовать также в качестве упражнений для выводов и доказательств:
I. Взаимовыразимость кванторов:
1. ∀x A(x) ~ ∃xA(x). 2. ∃x A(x) ~ ∀xA(x).
II. Законы образования контрадикторной противоположности:
1. ∀x A(x) ~ ∃xA(x). 2. ∃x A(x) ~ ∀xA(x).
III. Законы пронесения кванторов:
1. ((∀x A(x) & ∀x B(x)) ~ ∀x(A(x) & B(x))).
2. ((∃x A(x) v ∃x B(x)) ~ ∃x (A(x) v B(x))).
3. (∃x (A(x) & B(x)) ⊃ (∃x A(x) & ∃x B(x))).
4. ((∀x A(x) v ∀x B(x)) ⊃ ∀x (A(x) v B(x))).
5. (∀x (A v B(x)) ~ (A v ∀x B(x))), если x не свободна в A.
6. (∃x (A & B(x)) ~ (A & ∃x B(x))), если х не свободна в А.
7. (∀x A(x) ⊃ B(x)) ⊃ (∀x A(x) ⊃ ∀x B(x))).
IV. Перестановка кванторов
1. ∀x ∀y A(x, y) ~ ∀y∀x A(x, y).
2. ∃x ∃y A(x, y) ~ ∃y ∃x A(x, y).
3. ∃x ∀y A(x, y) ⊃ ∀y ∃x A(x, y).
V. Исключение квантора общности и введение квантора существования.
1. ∀x A(x) ⊃ A(t). 2. A(t) ⊃ ∃x A(x).
В обоих случаях А(t) есть результат правильной подстановки терма t вместо х в А(х).
VI. Законы устранения вырожденных кванторов. 1. ∀x А ~ А. 2. ∃x А ~ А, где А не содержит х свободно.
VII. Связь кванторов ∀ и ∃.
∀x A(x) ⊃ ∃x A(x).
Ясно, что приведенные эквивалентности также могут быть использованы в рассуждениях посредством эквивалентных преобразований.
Пример эквивалентных преобразований формулы
|
∀x (P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ ∃x (P(x) & Q(x)).
с использованием некоторых из указанных в этом и предыдущем параграфе схем эквивалентностей:
∀x (P(x) ⊃ Q(x)) ⊃ ∃x (P(x) & Q(x)) ≡
≡ ∀x (P(x) ⊃ Q(x)) v ∃x (P(x) & Q(x)) ≡
≡ ∃x (P(x) ⊃ Q(x)) v ∃x (P(x) & Q(x)) ≡
≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∃x (P(x) & Q(x)) ≡
≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∃x (P(x) & Q(x)) ≡
≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∀x (P(x) & Q(x)) ≡
≡ ∃x (P(x) & Q(x)) v ∀x (P(x) & Q(x)).
Разработанный в современной символической логике метод построения логических исчислений является важнейшим ее результатом. Его теоретическая и практическая значимость состоит в том, что благодаря ему возникает возможность доказательства любой формулы, представляющей закон логики, из бесконечного множества таких формул, а также осуществлять соответствующий вывод для любого случая — опять-таки из бесконечного множества случаев от ношения логического следования. В основе логических исчислений, как мы видели, лежат специальные логические языки. Наряду с рассмотренными выше возможностями использования этих языков для решения многих логических вопросов, и в первую очередь для точного определения основных понятий логики (логическое следование и закон логики), следует заметить, что в этих языках имеются, по существу, точные понятия логической формы и логического содержания мыслей, которые мы используем в дальнейшем.
Список литературы
1. Е. К. Войшвилло, М. Г. Дегтярев Логика, Москва, 2001.
2. А.А. Марков, Н. М. Нагорный Теория алгорифмов, Москва, 1984.
|
|
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!