Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2019-07-12 | 175 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
3.1. Понятия и определения
Говорят, что множество имеет структуру, если между элементами множества установлены определенные соотношения. Множество, наделенное структурой, называют пространством.
Пусть X – произвольное множество. Свяжем с каждой парой элементов из X некоторое вещественное неотрицательное число d³0. Это число называют расстоянием или метрикой в X, если для любых x, y, zÎX оно удовлетворяет следующим трем аксиомам:
1) аксиома идентичности: d(x, y)=0 тогда и только тогда, когда x=y (аксиома идентичности);
2) аксиома симметрии: d(x, y)=d(y, x);
3) аксиома треугольника: для любой тройки x, y, zÎX имеет место d(x, y)£d(x, y)+d(y, z).
Метрическим пространством называют пару (X, d), то есть множество X с определенной на нем метрикой d. Элементы множества X называют точками метрического пространства (X, d).
Метрическое пространство называется линейным, если оно удовлетворяет следующим условиям:
1) каждой паре элементов x, yÎX однозначно определен третий элемент zÎX, называемый их суммой и обозначаемый x+y, причем
x+y=y+x (коммутативность);
x+(y+v)=(x+y)+v (ассоциативность);
в X существует такой элемент 0, что x+0=x для всех xÎX (существование нуля);
2) для любого числа a и любого элемента xÎX определен элемент axÎX, причем
(a+b)x=ax+bx; a(x+y)=ax+ay.
Условия 1 и 2 называют условиями аддитивности и однородности линейного пространства. Множества, элементы которых допускают выполнение операций сложения и умножения на скаляр, весьма разнообразны. Однако в дальнейшим сосредоточим свое внимание на линейных пространствах, элементами которых являются векторы или вектор-столбцы. Такое пространство называется векторным пространством.
Совокупность векторов называется линейно-независимой, если существуют действительные числа k1, k2,…, kn, среди которых хотя бы одно не равнялось нулю, такие, что выполняется условие
|
Чтобы определить линейную зависимость или независимость совокупности векторов, можно использовать несколько способов.
1) Квадратная матрица называется особенной, если ее строки или столбцы линейно-зависимы. В этом случае det A=0.
2) Правило вырожденности Сильвестра. Дефект произведения двух матриц не меньше дефекта каждой из матриц и не выше суммы дефектов матриц.
3) Определитель Грама. Определитель Грама для системы векторов строится в предположении, что выполняется соотношение
Записывая последовательно скалярные произведения xi и обеих частей этого уравнения, получим систему уравнений
Система однородных уравнений имеет нетривиальное решение для ki только в том случае, если определитель матрицы с коэффициентами [<xi, xj>] равен нулю. Этот определитель называется определителем Грама и равен
Следовательно, система векторов линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Грама для этой системы векторов равен нулю. Отметим, что в случае ортогогальных векторов определитель Грама является диагональным определителем.
Базисом называется упорядоченное множество линейно-независимых векторов. Базисов в конкретном векторном пространстве может быть бесконечно много. Однако число векторов в базисе всегда меньше или равно определенному значению. Максимальное число линейно-независимых векторов в данном векторном пространстве называется размерностью данного векторного пространства.
Любой вектор векторного пространства можно разложить по базису этого пространства и представить в виде:
,где – базисные векторы пространства, а коэффициенты k1, k2,…, kn называются координатами данного вектора в базисе =
Линейное пространство называют нормированным линейным пространством, если для каждого xÎX существует неотрицательное число ||x||, называемое нормой x, которое удовлетворяет следующим условиям:
|
||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0;
||ax||=|a|×||x||;
||x+y||£||x||+||y||.
Нетрудно установить, что величина ||x–y|| обладает всеми свойствами расстояния d(x, y) в метрическом пространстве.
3.2. Линейное преобразование
Преобразованием линейного n-мерного пространства X называют оператор A, отображающий это пространство в m-мерное пространство Y:
A: X®Y.
Таким образом, преобразование A ставит в соответствие каждому вектору x пространства X вектор
y=Ax
пространства Y. В частном случае может быть Y=X. При этом преобразование A ставит в соответствие каждому вектору x пространства X вектор Ax того же самого пространства.
Преобразование A называют линейным, если выполняется условие
A(k1x1+k2x2)=k1 Ax1 + k2 Ax2.
Это условие будет выполняться, если между компонентами x(j) и y(i) векторов x и y имеется линейная зависимость вида
,
где aij – произвольные числа. Совокупность чисел aij, i=1, 2,…, m; j=1, 2, …, n образует матрицу A=[aij], которую называют матрицей линейного преобразования.
Среди линейных преобразований линейного пространства особую роль играют два:
1. Нулевое преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору нулевой вектор o: Ox=o.
2. Единичное преобразование, ставящее в соответствие каждому вектору x тот же самый вектор: Ix=x.
Подпространство
Рассмотрим произвольное конечное множество точек S={x1, …, xm} линейного пространства X. Множество
при всевозможных ai также представляет собой линейное пространство, являющееся подмножеством линейного пространства X и называемое линейным подпространством.
4. Матричные преобразования
Матрица B эквивалентна матрице А в том случае, если существуют такие две неособенные матрицы P и Q, что
B=PAQ.
4.1. Преобразовани е подобия
Рассмотрим линейное преобразование
y=Ax,
где x и y определяются в n-мерном пространстве с базисом zi. Предположим теперь, что требуется перейти от данного базиса к системе векторов wi. В этом состоит общая проблема преобразования координат. Пусть x и y соответственно переходят в новом базисе в координаты x’ и y’. Так как для zi и wi составляют два базисы в n-мерном пространстве, то должна существовать такая неособенная матрица P, что
Найдем связь между y’ и x’ в новой системе координат. Для этого умножим слева обе части этого уравнения на P и получим Py=Pax. Из уравнения выше следует, что
|
или
Матрица B, связывающая в новой системе координат x’ и y’, получается из A на основе преобразования подобия.
Преобразования подобия обладают важными свойствами:
1. Если матрица в одном базисе невырождена, то и в другом базисе она будет невырождена.
2. Определители, равно как и следы подобных матриц равны.
4.2. Ортогональное преобразование
Рассмотрим линейное преобразование
x=Qx’, P-1=Q,
где вектор x определяется в ортогональной системе координат. Если новая система координат также ортогональна, то длина вектора x’ в новой системе координат должна совпадать с длиной вектора x в первоначальной системе координат. Следовательно
<x, x>=<x’, x’>.
Выражая это соотношение посредством матрицы Q, имеем
Для этого необходимо, чтобы QT=Q-1.
Следовательно, при переходе от одного ортогонального базиса к другому матрица преобразования Q, ставящая в соответствие вектору в первоначальной системе координат вектор в новой системе координат, должна удовлетворят условию QT=Q-1. Данное преобразование называют ортогональным преобразованием. Матрица Q называется ортогональной матрицей. Ортогональное преобразование является частным случаем преобразования подобия. Оно оставляет неизменными длины и углы.
Из условия QT=Q-1 как следствие вытекает
|QT| |Q| = 1 или |Q| = ±1.
Знак минус в определителе означает, что ортогональное преобразование можно получить путем вращения или отражения. Косинусы углов между осью i' и осями 1, 2, …, n обозначаются соответственно элементами матрицы Q. Эти величины называются направляющими косинусами или направлениями новых осей по отношению к старым.
4.3. Конгруэнтное преобразование
Две матрицы называются конгруэнтными, если существует неособенная матрица Q, удовлетворяющая равенству
B=QTAQ.
|
|
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!