Уравнение баланса кинетической энергии среднего потока.

Введем обозначение:

Запишем уравнения движения:

 

 

(1)

(2)

Домножим (1) на , а (2) на , и сложим (1) и (2).

 

Вспомним формулу дифференцирования произведения:

Теперь положим в ней:

 

             

Имеем:       

 

Теперь положим:

 

                  

Имеем:

 

 

 

Получим выражение для полной кинетической энергии. Обозначим .

 

 

Домножая на , имеем:

 

          

 

Å_ìåõ=Å_ê+Å_ï

 

 

 

Ðàññìîòðèì ôèçè÷åñêèé ñìûñë ñëàãàåìûõ â ïðàâîé ÷àñòè.

1-îå ñëàãàåìîå – ðàáîòà ñèëû áàðè÷åñêîãî ãðàäèåíòà

2-îå ñëàãàåìîå – äèôôóçèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè

3-å ñëàãàåìîå – õàðàêòåðèçóåò ïîòåðþ ýíåðãèè ñðåäíåãî ïîòîêà, ò.å. ïåðåõîä êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñðåäíåãî ïîòîêà â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ òóðáóëåíòíîñòè.

 

Óðàâíåíèå áàëàíñà ýíåðãèè òóðáóëåíòíîñòè.

 

N – генерация энергии турбулентности

Ar – работа силы плавучести

 – диссипация энергии турбулентности (переход в тепло)

diff – диффузия энергии турбулентности

 

 

 

 

 

Если  (не устойчивая стратификация), то Аr > 0

Если  (нейтральная стратификация), то Ar = 0

Если  (устойчивая стратификация), то Ar < 0

 

 

 

 

Это уравнение не является следствием осредненных уравнений движения и может рассматриваться как дополнительное уравнение для определения коэффициента турбулентности. Однако в нем появились новые неизвестные е и b, так что в итоге система осталась незамкнутой. Существует различные гипотезы, которые позволяют в принципе уравнять число уравнений и неизвестных.

 

 

 

Связь турбулентных потоков с полями средних величин. Гипотезы замыкания полуэмпирической теории турбулентности.( вопрос 7)

 

Вывод полуэмпирических соотношений.

Для замыкания системы уравнений к-модели (для определения е и k) предположим, что все характеристики турбулентности можно представить как функции турбулентного пути смешения и кинетической энергии турбулентности. Для получения зависимостей используем аппарат анализа размерности.

 

а) все физические величины имеют размерность, т.е. выражаются через основные единицы измерений (основные размерности), к которым обычно относят: единицу массы – M, единицу длины – L, единицу времени – T. Иногда при описании термодинамических процессах к ним целесообразно добавить дополнительную единицу – единицу температуры и.

 

б) символическая запись, показывающая каким образом размерность физической величины выражается через основные размерности, называется формулой размерности. Примеры:

 

   

 

в) для некой искомой физической величины  выявим влияющие факторы b,c,d и сформулируем зависимость вида . В любой совокупности физических величин, входящих в зависимость, существуют величины с независимой размерностью, т.е. размерность других величин может быть выражена через их размерность. Число величин с независимой размерностью определяется однозначно и равно рангу матрицы размерностей (т.е. числу линейнонезависимых строк в матрице размерностей).

 

	a	b	c	d
L
M
T
и

(в каждом квадрате стоит соответствующий показатель степени при основной размерности). Выбор величин с независимой размерностью неоднозначен, однако это не влияет на конечный результат.

 

       г) основной теоремой анализа размерности является р-теорема: если какой-либо закон связывает между собой n физических величин, из которых m имеют независимую размерность, то этот закон можно представить в виде (n – m) безразмерных комплексов, связывающих физические величины. Итак, для заданного n (допустим в случае (п.1) n=4) возможны следующие варианты записи соотношения (п. 1), основанные на р-теореме, в зависимости от величины m:

 

1) m=3          (b,c,d),

 

 

2) m=2 (b,c) или (b,d) или т.д.,

 

3) m=1 (b) или (c) и т.д.

 

Показатели степени б_i, в_i, г_i... подбираются так, чтобы обеспечить условия безразмерности записанных комплексов. Другими словами, они должны быть такими, чтобы основные размерности сократились в числителе и знаменателе. С учетом этого, для их определения используется решение системы алгебраических уравнений, приравнивающих показатели степени при основных единицах в числителе и знаменателе.

 

1) получение зависимости для коэффициента турбулентности 

Примем, что k есть функция от энергии турбулентности и турбулентного пути смешения

 

 

                             

 

	k	b
L	2	2	1
M	0	0	0
T	-1	-2	0

                                                                                                                                  

                     n=3

                     m=2

                      n-m =1
так как n - m равно единице, то имеем один безразмерный комплекс.

 

 

 

L	2=2a+b
T	-1=-2a

                a=1/2

                 b=1

 

 

                            

 

 

2) получение зависимости для диссипации

Примем, что диссипация есть функция от турбулентного пути смешения и энергии турбулентности

 

 

                                             

 

	e	b
L	2	2	1
M	0	0	0
T	-3	-2	0

 

                n=3

                m=2

                n- m =1

 

т.к. n – m равно единице, то имеем один безразмерный комплекс

 

 

 

L	2=2a+b
T	-3=-2a

   a= 3/2

   b= -1

 

 

Под диссипацией здесь понимают переход кинетической энергии турбулентности в тепловую под действием силы трения.

 

3) Гипотеза для турбулентного пути смешения.

 

                            

Если использовать полученные соотношения, то система уравнений для турбулентной атмосферы будет замкнутой, и можно определить все искомые величины (u, v, k, l_T, b, и, S) при заданных граничных условиях, зависящих от конкретной специфики задачи. Исследования решения системы показывает, что основные трудности задачи заключаются в определении характеристик турбулентности, и в частности коэффициента турбулентности, которые связаны с вертикальными профилями метеорологических элементов сложными нелинейными зависимостями. Для того чтобы получить обозримые аналитические решения, нужно упростить систему. Это оказывается возможным при рассмотрении малых высот или при использовании некоторых априорных гипотез относительно профиля коэффициента турбулентности в пограничном слое.