Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные Новые материалы

Топ:

Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...

Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...

Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...

Интересное:

Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...

Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...

Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм данного ряда, то ряд называется сходящимся. В противном случае ряд называется расходящимся.

2018-01-28

1124

0.00 из 5.00 0 оценок

Заказать работу

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Ряды.

Понятие ряда возникает уже в элементарной математике, когда приходится решать задачу одного числа через другие более простые числа.

Н а п р и м е р. Выразить через десятичные дроби два числа ⁵/₈ и ⁵/₉.

Эта сумма бесконечного множества слагаемых есть пример числового ряда.

Числовые ряды.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, u₃,…, u_n_,….

Рассмотрим сумму u₁+ u₂ + u₃ + …+ u_n + …=

Эта сумма называется числовым рядом. Рассмотрим

S₁ = u₁,

S₂ = u₁ + u₂,

S₃ = u₁ + u₂ + u₃,

……………………

S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n,

………………………..

Суммы S₁, S₂, … S_n, … называютс я частичными суммами.

Рассмотрим

Определение.

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм данного ряда, то ряд называется сходящимся. В противном случае ряд называется расходящимся.

П р и м е р. Рассмотрим ряд

a + aq + aq² + aq³ + … + aqⁿ + …. Этот ряд называется геометрической прогрессией.

Необходимое условие сходимости ряда.

Теорема.

Если ряд сходится, то общий член его стремится к нулю при n→ ∞.

Выражение n-го члена при произвольном значении n называется общим членом ряда.

Рассмотрим ряд

u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n + ….

Это условие является только необходимым, но не является достаточным. Это означает, что изстремления к нулю общего членане следует сходимость ряда.

П р и м е р.

Следствие (достаточный признак расходимости).

Если общий член ряда не стремится к нулю при n→∞, то ряд расходится.

П р и м е р.

Ряды с положительными членами.

u₁+ u₂ + …+ u_n + … = (1)

Пусть u_n > 0 при произвольном n. Тогда S_n₊₁ = S_n + u_n₊₁> S_n.

Последовательность частичных сумм знакоположительного ряда монотонно возрастает. Отсюда

- либо конечное число (если ряд сходится), либо ∞ (если ряд расходится)

Интегральный признак сходимости.

u₁+ u₂ + …+ u_n + … = (1)

Пусть члены ряда (1) положительны и не возрастают, т.е. u₁≥ u₂ ≥ u₃ ≥ …≥ u_n ≥ … и пусть f(x) – непрерывная невозрастающая функция x, такая, что f(1) = u₁, f(2) = u₂, …, f(n) = u_n, …

Тогда

Если несобственный интеграл сходится, то сходится и ряд (1).

Если этот интеграл расходится, то расходится и ряд (1).

Доказательство.

1. Пусть

f(x)

u_n₊₁

u₁u₂u₃u_n

1 2 3 … n n+1 x

S_ступ = u₂ + u₃ + … + u_n+1 = S_n+1 – u₁

S_n₊₁ монотонно возрастает и остается ограниченной сверху, следовательно, существует, и ряд сходится.

f(x)

u_n

u₁ u₂ u₃ u_n+1

1 2 3 … n n+1 x

Таким образом, обобщенный гармонический ряд сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1.

Признаки сравнения.

Первый признак сравнения.

Пусть даны два положительных ряда.

Если справедливо неравенство a_n≤ b_n(n = 1, 2, …), то из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).

Доказательство.

1. Пусть ряд (2) сходится. S_n = a₁ + a₂ + …+ a_n,

S_n′ = b₁ + b₂ + … + b_n.

Очевидно, S_n^′ < S, т.к. S_n стремится к пределу, монотонно возрастая. Следовательно,

S_n ≤ S_n′ < S.

S_n монотонно возрастает и остается ограниченной. Следовательно,

Ряд (1) сходится.

2. (1) – расходится. S_n′ ≥ S_n → ∞ при n → ∞, ряд (2) расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть имеем два ряда (1) и (2). Если существует конечный, отличный от нуля предел то оба ряда либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

П р и м е р 1.

П р и м е р 2.

Признак Даламбера.

Если существует предел (конечный или бесконечный) то, если ρ < 1, ряд сходится, если ρ > 1, то ряд расходится, если ρ =1, то признак не эффективен, ряд может сходиться, а может и расходиться.

1. ρ < 1. Рассмотрим ρ < q < 1. Тогда, начиная с некоторого N, выполняется неравенство

Рассмотрим ряд

u_N+ u_N q + u_N q² + … (*)

O ρ q 1 x

Ряд (*) – геометрическая прогрессия со знаменателем q< 1. Ряд сходится. Исходный ряд сходится по признаку сравнения.

2. ρ > 1. Тогда, начиная с некоторого n, справедливо неравенство т.е. u _n+1 > u _n. Следовательно, члены ряда возрастают, с возрастанием номера, общий не стремится к нулю, ряд расходится.

П р и м е р 1.

П р и м е р 2.

Знакочередующиеся ряды.

u₁ – u₂ + u₃ – u₄ + ∙∙∙ (1)

u_i > 0.

Признак Лейбница.

Если члены ряда (1) таковы, что u₁> u₂ > ∙∙∙ > u_n > ∙∙∙ и , то ряд сходится, и сумма его не превышает первого члена.

n = 2m. Рассмотрим S₂_m =

. S₂_m c возрастанием m монотонно возрастает и остается меньше u₁. Следовательно,

n = 2m + 1. S _2m+1 = S_2m + u_2m+1.

Ряд сходится, и сумма его меньше u₁.

П р и м е р.

Абсолютная сходимость.

Рассмотрим ряд с произвольными членами.

u₁ + u₂ +…+ u_n + … (*)

u _n – произвольного знака. Рассмотрим другой ряд

|u₁ | +| u₂ | +…+| u_n | + … (**)

Теорема.

Функциональные ряды.

Рассмотрим ряд

u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … (1)

Ряд (1) – функциональный ряд.

Введем понятие сходимости ряда (1). Зафиксируем значение x. Тогда

u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) = S_n(x) – частичная сумма ряда. - сумма ряда.

Таким образом, суммой S(x) функционального ряда является функция от x.

Если числовой ряд (2) сходится, то ряд (1) называется сходящимся в точке x.

A b

Полученный результат можно геометрически интерпретировать следующим образом. Рассмотрим график функции y = S(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2 ε, т.е. построим кривые y = S(x) + ε иy = S(x) – ε. Тогда при любом ε график функции s_n(x), будет лежать целиком в рассматриваемой полосе. В этой же полосе и будут лежать графики всех последующих частичных сумм.

Определение.

Функциональный ряд (1) называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд

α₁ + α₂ + …+ α_n + … (2)

с положительными членами, что для всех х из данной области выполняются соотношения

Пример.

Ряд является мажорируемым на всей числовой оси. Действительно, для всех х выполняется условие

Непрерывность суммы ряда.

Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная.

2. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно интегрировать т.е.

3. Равномерно сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать т.е.

u₁′(x) + u₂′(x) +....+ u_n′(x) +.... =S ′(x)

Степенные ряды.

Ряды.

Понятие ряда возникает уже в элементарной математике, когда приходится решать задачу одного числа через другие более простые числа.

Н а п р и м е р. Выразить через десятичные дроби два числа ⁵/₈ и ⁵/₉.

Эта сумма бесконечного множества слагаемых есть пример числового ряда.

Числовые ряды.

Пусть дана бесконечная последовательность чисел u₁, u₂, u₃,…, u_n_,….

Рассмотрим сумму u₁+ u₂ + u₃ + …+ u_n + …=

Эта сумма называется числовым рядом. Рассмотрим

S₁ = u₁,

S₂ = u₁ + u₂,

S₃ = u₁ + u₂ + u₃,

……………………

S_n = u₁ + u₂ + …+ u_n,

………………………..

Суммы S₁, S₂, … S_n, … называютс я частичными суммами.

Рассмотрим

Определение.

Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм данного ряда, то ряд называется сходящимся. В противном случае ряд называется расходящимся.

П р и м е р. Рассмотрим ряд

a + aq + aq² + aq³ + … + aqⁿ + …. Этот ряд называется геометрической прогрессией.

12 Следующая ⇒
Поделиться с друзьями:

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...