Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2018-01-28 | 146 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение производной
Пусть функция определена и непрерывна на интервале . Зададим аргументу некоторое приращение , тогда функция получит приращение . Составим отношение приращения функции к приращению аргумента:
.
Рассмотрим предел этого отношения при :
.
Определение. Производной функции в точке x называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента , когда последнее стремится к нулю ().
Таким образом, получаем
(16)
или
. (17)
Замечание. При вычислении производной функции по опреде-лению возникает неопределенное выражение вида . Раскрывая эту неопределенность, выясняем существование предела и тем самым производной функции в точке x.
Для обозначения производной функции часто используют также символы:
, , .
Если в каждой точке существует производная , то функция называется дифференцируемой на интервале , а операция нахождения производной функции называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной
Касательной к кривой в точке называется прямая, являющаяся предельным положением секущей когда точка M, двигаясь по кривой, неограниченно прибли-жается к точке (рис. 9.1).
Рис. 9.1
Рассмотрим график непрерывной на функции (рис. 9.2), имеющей в точке невертикальную касате-льную. Найдем угловой коэффициент этой касательной: , где j – угол наклона касательной к оси .
Придадим переменной x приращение , функция также получит приращение , соответствующей ему точкой на кривой будет , где , . Проведем секущую и обозначим через y угол между секущей и осью Ox. Рассмотрим треугольник тогда . Угловой коэффициент секущей равен
|
.
Из непрерывности функции следует, что при приращение также стремится к нулю; но тогда точка М, двигаясь по кривой, в пределе совпадает с точкой а секущая, поворачиваясь в точке в пределе переходит в касательную, тогда
.
Поэтому угловой коэффициент касательной равен:
.
Рис. 9.2
Таким образом, геометрически производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна , или, что то же самое, тангенсу угла наклона касательной в точке к оси абсцисс.
Правила дифференцирования, таблица производных
Для вычисления производных необходимо знать правила дифференцирования и формулы, определяющие производные прос-тейших функций. Вывод этих правил и формул основывается на определении производной функции.
Правила дифференцирования
Пусть , – дифференцируемые функции на интервале , .
1. .
Доказательство. Пусть , придадим переменной приращение, тогда . Составим отношение и вычислим предел .
2. .
Доказательство. Пусть , тогда , . По определению имеем .
3. .
Доказательство. Пусть и функция – дифференцируемая на интервале , т. е. . Придадим переменной x приращение, тогда функции y, u также получат приращение:
, Переходя к пределу при , получаем
4. .
Доказательство. Пусть , , – дифференцируемые функции на интервале , т. е.
, .
Запишем приращение функции, соответствующее приращению переменной :
.
По определению производной и свойствам пределов функций получаем:
.
5. .
Доказательство. Пусть , где , – дифференцируемые функции на интервале :
, .
Если независимая переменная получит приращение , тогда функции y, u, v также получат приращение, т. е.
.
По определению производной и свойствам пределов функций получаем:
.
6. , .
Доказательство. Пусть , и , – дифференцируемые функции на интервале :
, .
Приращению соответствуют приращения функций
|
y, u, v, тогда:
.
По определению производной и свойствам пределов функций имеем:
.
Пример 9.1. Найти производную функции по определению: 1) ; 2) ; 3) .
Решение
1) . Значению независимой переменной x соответ-ствует значение функции , значению соответствует значение функции . По оп-ределению производной (17) имеем:
. Таким образом, .
2) . Запишем приращение функции , соответ-ствующее приращению независимой переменной (): . По определению производной функции имеем:
,
т. е. .
3) . Значению аргумента x соответствует значение функции , а значению соответствует значение функции .
Найдем приращение функции:
,
вычислим предел:
.
Таким образом, получаем
Таблица производных простейших функций
1) | , ; | 8) | , ; | ||
2) | , , ; | 9) | ; | ||
3) | ; | 10) | ; | ||
4) | ; | 11) | ; | ||
5) | ; | 12) | ; | ||
6) | ; | 13) | . | ||
7) | ; | ||||
Пример 9.2. Найти производную функции:
1) 2) .
Решение
1) Воспользуемся правилом дифференцирования произведения функций:
.
2) По правилу дифференцирования дроби имеем:
.
|
|
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!