Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2018-01-27 | 162 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1) (1)
2) (2)
3) (3)
4) (4)
5) (5)
6) (6)
7)
Ряд Фурье.
Определение: Тригонометрический ряд — (1)
Числа называются коэффициентами тригонометрического ряда.
Если тригонометрический ряд сходится, то на интервале сходимости он также является -периодической функцией. Если тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке , то в силу периодичности он также сходится на любом отрезке числовой оси, и его сумма является непрерывной функцией во всех точках интервала сходимости.
ТЕОРЕМА 1. Пусть — -периодическая, непрерывная на или имеющая конечное число точек разрыва I рода функция. Тогда разложение в тригонометрический ряд существует, и его коэффициенты равны:
(2)
(3)
Определение. Коэффициенты и , которые определяются по формуле (1), называются коэффициентами Фурье для функции .
Определение. Ряд Фурье для функции — это тригонометрический ряд, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье для функции .
Если ряд Фурье для функции сходится к во всех точках её непрерывности, то говорят, что разлагается в ряд Фурье.
ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗЛОЖИМОСТИ В РЯД ФУРЬЕ
Определение. Пусть монотонна на каждом из промежутков, на который разбивается отрезок , и этих промежутков конечное число. Тогда называется кусочно-монотонной на .
ТЕОРЕМА 2 (теорема Дирихле). Пусть -периодическая, кусочно-монотонная и кусочно-непрерывная на , причём имеет точки разрыва только I рода. Тогда:
1. Ряд Фурье функции сходится при всех значениях x, причём в точках непрерывности его сумма равна , а в точках разрыва .
2. Ряд Фурье функции равномерно сходится на любом отрезке, лежащем внутри интервала непрерывности функции .
|
Определение. называется кусочно-гладкой на , если и непрерывны на , или имеют конечное число разрывов I рода.
ТЕОРЕМА 3. Пусть -периодическая, кусочно-гладкая на . Тогда имеют место утверждения (1) и (2) предыдущей теоремы.
Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций
Для чётной -периодической функции коэффициенты разложения в ряд Фурье: (1) , ,
Аналогично, для нечётной -периодической функции коэффициенты Фурье:
(2) , ,
Собственно разложение: (3) ,
— чётная, -периодическая функция, из (1).
(4) ,
— нечётная, -периодическая функция, определять по (2).
Пример 1: Функция — -периодическая и на .
Разложить в ряд Фурье.
Достаточно получить разложение на отрезке и продолжить на всю ось как периодическую функцию. — нечётная, поэтому разложение находим по формуле (4), коэффициенты найдём по формуле (2).
Коэффициенты Фурье находятся по формуле:
Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом.
Пусть — периодическая с периодом , на отрезке длины непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода.
Тогда ряд Фурье имеет вид:
; ;
Для чётной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье:
Для нечётной функции с периодом :
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!