Специальные законы распределения

1. х² -распределение Пирсона. Пусть X₁, X₂,...,Х_n оди­наково распределенные по нормальному закону случай­ные величины, являющиеся взаимно-независимыми, для которых математическое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклонение 1, тогда сумма квадратов этих случайных величин носит название случайной ве­личины х² - xu-квадрат с v=n степенями свободы:

При v=l (учитывая дифференциальная функция:

Дифференциальная функция распределения χ² с v=n степенями свободы задается формулой

где Г(х) - гамма, функция Эйлера.

при R₊; если n Z, то Г(n+ 1)=n!

С возрастанием числа степеней свободы v = n, рас­пределение χ² медленно приближается к нормальному закону распределения. На практике используют обыч­но не плотность вероятности, а квантили распределе­ния.

Квантилью χ²_n распределения, отвечающей заданно­му уровню значимости α (альфа) – χ²_α,ν, называется такое значение χ²⁼ χ²_α,ν, при котором вероятность того, что χ² превысит значение χ²_α,ν, равна α (рис.21):

Рис. 21. Дифференциальная функция распределения χ ² с ν степенями свободы.

С геометрической точки зрения нахождение квантили

заключается в выборе такого значения Х²⁼ 5C_a v при котором площадь криволинейной трапеции ограниченной дифференци­альной функцией была бы равна а. Значения квантилей затабулированы (прил.2). При n>30 распределение прак­тически не отличается от нормального.

Замечание. Квантиль СВ X порядка a - это такое зна­чение СВ X, что F(x_a) = а, где F(x)=P(X<x). Например, медиана – это квантиль x_0.5.

2. t- распределение Стъюдента. Это распределение имеет важное значение при статистических вычислени­ях, связанных с нормальным законом, распределения, где a - неизвестный параметр распределения и подлежит

определению из опытных данных, например, при стати­стической обработке наблюдений с неизвестной точно­стью.

Пусть X, X,, X₂,...,X_k независимые нормально распре­делённые случайные величины с нулевыми математи­ческими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями. Без­размерная величина

называется дробью Стьюдента.

Ее распределение не зависит от а в силу ее безразмерности. Дифференциальная функция t-распределения с v=k степенями свободы имеет вид

t - распределение Стьюдента быстрее, чем х² стремится к нормальному.

На практике используют квантили распределения в зави­симости от числа степеней свободы и уровня значимости α.

С геометрической точки зрения нахождение квантилей (для двусторонней области) заключается в выборе такого значе­ния t, при котором суммарная площадь криволинейной трапеции была бы равна α, в силу симметрии распреде­ления (рис. 22):

Рис.22. Дифференциальная функция t-распределения Стьюдента с v=k≤30 степенями свободы.

3. F-распределение Фишера-Снедекора.

Пусть Х₁, X₂,...,X_m и Y₁, Y₂,...,Y_n одинаково распреде­ленные по нормальному закону случайные величины, явля­ющиеся взаимно-независимыми, для которых математичес­кое ожидание равно нулю, а среднеквадратическое отклоне­ние равно единице.

Рассмотрим дробь Фишера F(m,n)=(χ²_m/m)/(χ²_n/n), она имеет F - распределение с v₁ = m - числом степеней сво­боды числителя, и v₂=n - числом степеней свободы знамена­теля ((m, n) степенями свободы), которое называется распре­делением Фишера-Снедекора. Обычно используют кван­тили распределения в зависимости от числа степеней свободы (m, n) и уровня значимости а. (рис. 23):

Рис. 23. Дифференциальная функция F распределения Фишера -Снедекора с v₁=5, v₂=50 степенями свободы

Для квантилей распределения Фишера-Снедекора геомет­рический смысл аналогичен другим распределениям (рис.23). Имеет место равенство

 

Распределения χ² - Пирсона, t - Стьюдента, F -Фишера-Снедекора нашли широкое применение в математической статистике, в частности при проверке статистических гипотез и в дисперсионном анализе.

Закон больших чисел

Под законом больших чисел в теории вероятностей пони­мают совокупность теорем, в которых утверждается, что су­ществует связь между средним арифметическим достаточно большого числа случайных величин и средним арифметическим их математических ожиданий.

В1927 г. Гейзенберг открыл принцип неопределенности, который утверждает, что измерительное познание ограниче­но. Неопределенность является неотъемлемой частью нашей жизни, однако, при большом числе однотипных опытов можно установить определенные закономерности.

Неравенство Чебышева.

Рассмотрим закон больших чисел в форме Чебышева.

Лемма Чебышева (Маркова). Если случайная вели­чина X принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание М(Х), то для любого α>0 име­ет место неравенство: P(X≥α)≤(M(X))/α.

Неравенство Чебышева. Если случайная величина X име­ет математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(X), то для любого ε>0 имеет место неравенство:

Неравенство Чебышева является в теории вероятностей общим фактом и позволяет оценить нижнюю границу веро­ятности.

30. Теорема. Закон больших чисел Чебышева. Пусть Х₁, Х₂,...,Х_n - последовательность попарно независимых случай­ных величин, имеющих конечные математические ожидания и дисперсии, ограниченные сверху постоянной С = const (D(X_i)≤C(i=l, 2,...,n)). Тогда для любого ε>0,

Теорема показывает, что среднее арифметическое боль­шого числа случайных величин с вероятностью сколь угодно близкой к 1 будет мало отклоняться от среднего ариф­метического математических ожиданий.

Следствие 1. Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна р, m - число наступлений события А в серии из n независимых испыта­ний, то, каково бы ни было число е > 0, имеет место предел:

Таким образом устанавливается связь между отно­сительной частотой появления события А и постоянной вероятностью р в серии из n независимых испытаний.

Следствие 2. Теорема Пуассона. Если в последовательности независимых испытаний вероятность появ­ления события А в к-ом испытании равна р, то

где m - число появлений события А в серии из n испытаний.

Следствие 3. Теорема Бернулли. Если X₁, Х₂,...,Х_n - пос­ледовательность независимых случайных величин таких, что М(Х₁) = М(Х₂)=...= М(Х_n) = а, D(Х₁)< С, D(X₂) < С,...,D(X_n)< С, где С = const, то, каково бы ни было постоянное число ε>0, имеет место предел:

Этот частный случай закона больших чисел позволяет обосновать правило средней арифметической.

Законы больших чисел не позволяют уменьшить неопре­делённость в каждом конкретном случае, они утверждают лишь о существовании закономерности при достаточно боль­шом числе опытов. Например, если при подбрасывании мо­неты 10 раз появился герб, то это не означает, что в 11 раз появится цифра.