Вычисление истинных коэффициентоввстабильном населении

Лоткавычислилистинныйкоэффициентестественногоприроста, решаяхарактеристическоеуравнение (18.8):

, (18.8)

где l (x) — вероятностьдляженщиндожитьотрождениядовозраста x; r — истинныйкоэффициентестественногоприроставрасчетеодногоче-

ловека; f (x) — функциярождаемости, т.е. вероятностьрождениядевочекиженщины (илимальчиковумужчинпоскольку, напомним, речьидетободнополомнаселении) винтервалеот x до x + ∆лет. Таккак f (x) равнонулюзаграницамирепродуктивногопериода[α, ^β] (обычносчитают, чтоα =15, аβ = 50 годам), томыможемподставитьзначенияαиβвкачествепределовопределенногоинтеграла. При r = 0стабильноенаселениепревращаетсявстационарное.

Напрактикедостаточнохорошееприближениекдействительномукорнюуравнения (18.8) даетквадратноеуравнение

µ r ² + λ r −ln R ₀ = 0, (18.9) где

λ = RR 1, µ = λ2 − RR 2 =  RR 1 0 2 − RR 0 2. (18.10)

0 0 

Функции R ₀ , R ₁и R ₂называют, соответственно, нулевым, первымивторыммоментами. Втерминахвозрастныхкоэффициентоврождаемостиисмертностипоτ-летнимвозрастнымгруппамформулыдля R ₀ , R ₁и R ₂имеютвид:

β− ^τ

R l 0 L τ x fx, R l 0 x =α+ x 2 τ Lx fx, R 2 = l 1 0 x =∑α+2 x 2 τ 2 Lx fx. (18.11)

x =α+ 2

Здесь f_x = δ⋅ F_x — возрастнойкоэффициентрождаемостидевочек, δ = 0,488 — долядевочекприрождении, F_x —возрастнойкоэффициент рождаемостидетейобоихполов (табличный).

Решаяквадратноеуравнение (18.9) относительно r иподставляязначения (18.10), получимвыражениедлядействительногокорня:

= R R ¹ 0 −  R R ¹ ₀ ² −2^ R R ₀ ² −  R R ¹ ₀ ^2ln R 0. (18.12) r 2

R R 0 2 −  R 1 

 R 0 

R ₀вформуле (18.11) представляетсобойнетто-коэффициентвоспроизводства (NRR), которыйпоказывает, вкакойпропорцииматеринскоепоколениезамещаетсядочерним. Условнопринимаячисленностьдочернегопоколенияравной 1, основываясьнаформулеростачисленностистабильногонаселения (1) можнозаписать:

e^{T ⋅ r} = R 0или (1+ r) ^T = R 0, (18.13) где T — периодсменыпоколенийилидлинапоколений. Отсюдаможнополучитьследующиеприближенныеформулыдля r:

R 1

r = ^{R 0} R ₀ −1, (18.14) r ^{= ln} _R 1 ^{R 0} , (18.15)

R ₀

Под средней длиной поколения T вдемографиипонимаютсреднийинтервалвремени, разделяющийпоколенияродителейиихдетей (матерейидочерей, отцовисыновей). В стабильном населениисредняя длина поколения T определяетсякакинтервалвремени, втечениекоторогочисленностьпоколенияизменятсяв R ₀раз. Этотинтервал, какследуетизформулы (18,13), равен:

T = ^{ln R 0} (18.16)

r

Дляоценкидлиныженскогопоколенияреальногонаселениячастоиспользуютпоказатель «среднийвозрастматери» (MAF), равный

MAF ,

где F (x) — повозрастныекоэффициентырождаемости, x + — середина возрастногоинтервала.

Значенияэтогопоказателя, какправило, находятсявинтервалеот 25 до 30 лет.

Существуетдругойспособоценкидлиныпоколениявстабильномнаселении, согласнокоторому T ⁼ _R^{R 1}₀ , где R ₀и R ₁полученыизформул (18.11).

Втаблице 18.1 приведеныэтапывычисленияистинногокоэффициентаестественногоприростапоформуле (18.12) сиспользованиемданныхГоскомстатадляженскогонаселенияРоссииза 1989 г. Отметим, чтооценкакоэффициентаЛоткипоформуле (18.15) равна — 0,198% инезначительноотличаетсяотполученноговтаблице 18.1 результата.

 

Табл. 18.1. Вычисление истинного коэффициента естественного прироста для женского населения России по данным Госкомстата 1989 г.

возрастныегруппы повозрастуматери	повозрастнойкоэффициент рождаемостиженщин	середина возрастного интервала	число живущихввозрасте x	нулевоймомент (2) ⋅(4)	первыймомент (3)⋅(5)	второй момент (3)⋅(6)
[ x, x + 5)	fx = δ⋅ Fx	Y = (x + 5)/ 2	Lx / l 0	R 0	R 1	R 2
15–19	0,0256	17,5	4,88781	0,12518	2,1906	38,3350
20–24	0,0800	22,5	4,87109	0,38945	8,7626	197,1589
25–29	0,0503	27,5	4,85338	0,24409	6,7125	184,5927
30–34	0,0266	32,5	4,83212	0,12870	4,1827	135,9387
35–39	0,0107	37,5	4,80210	0,05153	1,9326	72,4707
40–44	0,0024	42,5	4,75675	0,01160	0,4931	20,9558
45–49	0,0001	47,5	4,68704	0,00046	0,0217	1,0317
Итого	0,1958			0,95101	24,2958	650,48355
Итого ⋅ 5	0,9790

GRR 0,979

NRR = R 0 0,951

R^{R 1} 0 = 25,547, ^RR 0 ² = 683,994, ln R ₀ = −0,0502.

Такимобразом: 15,663⋅ r ² −25,547⋅ r −0,0502 = 0. Следовательно, r = −0,00196 или−0,196% вгод.