Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2018-01-13 | 148 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
ОДУ порядка n называется уравнение вида
(4.1)
где n - порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.
Примеры дифференциальных уравнений:
(4.2)
(4.3)
Здесь y (x) – неизвестная функция.
Уравнение (4.2) имеет порядок 2, уравнение (4.3) – порядок 1.
Если уравнение линейно по , то оно называется линейным. (4.2) – линейное уравнение, (4.3) – нелинейное.
Запишем дифференциальное уравнение n порядка в явном виде:
(4.4)
Уравнение в виде (4.1) – уравнение в неявной форме.
Под интегрированием уравнения (4.1) понимают нахождение функции y (x), которая удовлетворяет этому уравнению. y (x) называется решением дифференциального уравнения. Общее решение ОДУ n -го порядка имеет вид:
(4.5)
где - произвольные константы.
При любом наборе конкретных констант получаются частные решения.
Задача Коши есть задача о нахождении частного решения уравнения (4.4), удовлетворяющего начальным условиям
(4.6)
Здесь - некоторые заданные числа.
Графическое изображение частного решения называют интегральной кривой. Общее решение дифференциального уравнения n -го порядка определяет n -параметрическое семейство интегральных кривых.
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 1-го порядка
Рассмотрим два численных метода решения ОДУ первого порядка. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде
(4.7)
Задача (4.7) – задача Коши для ОДУ первого порядка.
Пример:
Общее решение этого уравнения
Решением этой задачи Коши будет единственная функция
Так решались ДУ в курсе высшей математики.
Метод Эйлера
Перепишем уравнение (4.7) в виде
Обозначим . Тогда
(4.8)
Формула (4.8) – формула метода Эйлера решения ОДУ первого порядка.
|
Y *
*
X
Результатом численного решения дифференциального уравнения является таблица
X | … | ||||
Y | … |
где заданы, (шаг h i задается и может быть как переменным, так и постоянным, а y i (i=1, 2, …, n) вычисляются по соответствующим формулам (например, по формуле (4.8)).
Пример:
h=0.2
x | |||
0.2 | 0.021403 | 0.0214 | |
0.4 | 0.04 | 0.091825 | |
0.6 | 0.128 | 0.222119 |
Погрешность метода Эйлера – o(h).
Метод Рунге-Кутта решения ОДУ первого порядка
Погрешность метода Рунге-Кутта – o(h4).
Пример:
h=0.2
Решение систем дифференциальных уравнений первого порядка
Запишем систему дифференциальных уравнений первого порядка:
(4.10)
Здесь x – независимая переменная, f1, f2, …, fn – заданные функции.
Решением (4.10) называют совокупность функций , которые после подстановки в систему уравнений (4.10) обращают их в тождество.
Задача Коши для системы (4.10) ставится так:
Найти такие, что , - некоторые заданные числа.
Метод Эйлера для решения задачи Коши заключается в вычислении по формулам:
(4.11)
Пример:
Формулы для вычислений будут такими:
Здесь
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!