Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Дисциплины:
2018-01-13 | 160 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Любая матричная игра имеет решение в смешанных стратегиях, т. е. существует цена игры в смешанных стратегиях V и оптимальные смешанные стратегии P0 и Q0 соответственно игроков А и В, т. е. V= V =maxα(P)= V(верх)= min ß(Q)= α(P0)=ß(Q0)=F(P0, Q0)
Определение седловой точки: пусть задана функция выигрыша F(P,Q) действительная функция из P?SA,Q?SB, точка (P0,Q0) – седловая точка P0?SA,Q0?SB если F(P,Q0)≤ F(P0,Q0)≤ F(P0,Q) для любого P0?SA, Q0?SB
левая часть: max функции F(P,Q0) достигается в точке (P0,Q0), то есть max F(P,Q0)= F(P0,Q0)
правая: min функции F(P0,Q) достигается в точке (P0,Q0), то есть min F(P0,Q)= F(P0,Q0)
max F(P,Q0)= F(P0,Q0)=min F(P0,Q) Это и означает существование седловой точки функции .
Рассмотрим для антогонистической игры для чистых стратегий: элемент матрицы aij – седловая точка, если minmax aij=maxmin aij= aij = гамма
16. Аналитическое решение игры 2×2 в смешанных стратегиях.
Пусть матрица А размером 2*2 не имеет седловой точки, т.е. решения в чистых стратегиях. Тогда каждый из игроков и обладает единственной оптимальной смешанной стратегией соответственно P*=(p1*,p2*) и Q*=( q1*,q2* ), где
p1*=(а22-а21)/(а11+а22-а12-а21)
p2*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)
v = (а22*а11-а12*а21)/(а11+а22-а12-а21)
q1*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)
q2*=(а11-а21)/(а11+а22-а12-а21)
Рассмотрим функцию выигрыша игрока A более подробно: F(P,Q)=∑∑piaijqj
(P, Q)? SA*SB
Примем также следующие обозначения:
p=p1, p2=1-p
q=q1, q2=1-q
Пусть m=2 и n=2,
тогда F(P,Q)=p(qa11+(1-q)a12)+(1-p)(qa21+(1-q)a22)
Представим в явном виде функцию как линейную функцию с аргументом (независимой переменной) q. Получим следующее выражение:
F(P,Q)=(a22+p(a12-a22))+q(p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22))
Если
p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22)>0, т.е. если
p>(a22-a21)/(a11-a12-a21+a22), график функции имеет положительный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать свои потери (минимизировать функцию), выбирая свою второю чистую стратегию, т.е. реализуя смешанную стратегию Q=(0;1),q=0. В итоге исход игры определится результатом гамма= F(P0,Q0)=a22+p(a12-a22)
|
Если p(a11-a12-a21+a22)+(a21-a22)<0, т.е. если
p<(a22-a21)/(a11-a12-a21+a22),, график функции имеет отрицательный наклон. Это значит, что в ответ на действия игрока A игрок B будем минимизировать функцию, выбирая свою первую чистую стратегию Q=(1;0),q=1
Т. о.
а21+р(а11-а21)=ра11+(1-р)а21=а11р1+а21р2=v
a22+p(a12-a22)=pa12+(1-p)a22=p1*a12+p2a22=V
p1+p2=1
a11 p1*+a21 p*2 = v.
a12 p1*+a22 p*2 = v
p1*+ p*2=1
Решая эту систему, получим оптимальную стратегию
p1*=(а22-а21)/(а11+а22-а12-а21)
p2*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)
и цену игры v = (а22*а11-а12*а21)/(а11+а22-а12-а21)
средний проигрыш второго игрока равен v, т.е. a11 q1*+ a12 q2*=v.
Тогда оптимальная стратегия второго игрока определяется по формулам:
q1*=(а22-а12)/(а11+а22-а12-а21)
q2*=(а11-а21)/(а11+а22-а12-а21)
17. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока A.
Составим систему уравнений на основе матрицы:
A11 a12
A21 a22
a11 p1+a21 p2 = v.
a12 p1+a22 p2 = v
p1+ p2=1
рассмотрим первое уравнение: a11 p1+a21 p2 = v.
a11 p1+a21 (1-p1) = v.
а21+p1(а11-а21)=V
если р=0 V=a21
p=1 V=a11
аналогично для второго уравнения
Итак, мы можем сформулировать общий алгоритм геометрического нахождения оптимальных стратегий игрока А, цены игры, нижней и верхней цены игры в чистых стратегиях, седловых точек матрицы и доминирующих стратегий игроков.
1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].
2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А1 и правый, соотв.стратегии А2.
3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a11 и a12 первой строки матрицы А
4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a21 и a22 второй строки матрицы А
5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми вторыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одном и том же столбце матрицы А: a11 с a21 и a12 с a22. В результате получаем отрезки a11a21 и a12a22.
|
6. Находим нижнюю огибающую отрезков a11a21 и a12a22
7. Находим наивысшие точки нижней огибающей
8. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]
9. Полученные проекции р0 определяют оптимальные стратегии Р0=(1-р0,р0) игрока А.
10. Ордината наивысшей точки огибающей равна цене игры V
11. Верхний из двух концов нижней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях
12. Нижний из двух верхних концов отрезков a11a21 и a12a22 есть верхняя цена игры в чистых стратегиях
13. Если элемент является нижним на перпендикуляре, где он лежит, и верхним концом отрезка a11a21 или a12a22, на котором он лежит, то этот эл-т является седловой точкой. В этом случае чистая стратегия игрока В, номер которой совпадает со вторым индексом седловой точки, является оптимальной.
Если матрица игры содержит седловую точку, то автоматически выявляется и оптимальная стратегия игрока В. Но можно достаточно удовлетворительно проинтерпретировать геометрически оптимальную стратегию игрока В и в случае отсутствия седловых точек.
18. Геометрический метод нахождения цены игры 2×2 и оптимальных стратегий игрока B.
Составим систему уравнений на основе матрицы:
A11 a12
A21 a22
a11 q1+a12 q2 = v.
a21 q1+a22 q2 = v
q1+ q2=1
рассмотрим первое уравнение: a11 q1+a12 q2 = v.
a11 q1+a12 (1-q1)= v.
а12+q1(а11-а12)=V
если q=0 V=a12
q=1 V=a11
аналогично для второго уравнения
1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].
2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый соответ. стратегии А1 и правый, соотв.стратегии А2.
3. На левом перпендикуляре от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) элементы a11 и a21 первого столбца матрицы А
4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] (как на вертикальной числовой оси) элементы a12 и a22 второго столбца матрицы А
5. Соединяем точки, изображающие элементы с одинаковыми первыми индексами, т.е. эл-ты, стоящие в одной и той же строке матрицы А: a11 с a12 и a21 с a22. В результате получаем отрезки a11a12 и a21a22.
6. Находим верхнюю огибающую отрезков a11a12 и a21a22.
7. Находим низшие точки верхней огибающей
8. Проектируем их ортогонально на горизонтальный отрезок [0,1]
9. Полученные проекции q0 определяют оптимальные стратегии Q0=(1-q0,q0)игрока B.
10. Ордината низшей точки огибающей равна цене игры V
|
11. нижний из двух концов верхней огибающей (лежащих на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях ß
12. верхний из двух нижних концов отрезков есть нижняя цена игры в чистых стратегиях
19. Геометрический метод нахождения цены игры 2×n и оптимальных стратегий игрока A.
Решение игр размера 2xn или nx2 допускает наглядную геометрическую интерпретацию.
1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].
2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый и правый
3. На левом перпендикуляре вертикальной числовой оси от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы матрицы А стоящих в 1 строке
4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эл-ты матрицы А второй строки
5. Каждую пару точек, изображающих элементы a1j a2j j=1,…,n, стоящие в j ом столбце матрицы А, соединяем отрезком a1j a2j. Таким образом будут построены n отрезков, представляющих собой графики n линейных функций
H(P,Bj)=(a2j-a1j)p+a1j, p принадлежит [0.1] j= 1,…,n
6. Находим нижнюю огибающую семейства отрезков (выпуклая вверх ломанная)
7. На нижней огибающей находим максимальную точку
8. Смешанная стратегия Р0=(1-р0, р0) является оптимальной стратегией игрока А.
9. Ордината наивысшей точки нижней огибающей является ценой игры V
10. Верхний из концов нижней огибающей (лежащей на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях
11. Нижний из концов верхней огибающей (лежащий на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях
12. Элемент матрицы А, изображающая точка которого является нижней на перпендикуляре, где она лежит, и верхним концом отрезка, на котором она лежит, будет седловой точкой игры.
20. Геометрический метод нахождения цены игры m ×2 и оптимальных стратегий игрока B.
1. Берем горизонтальный отрезок [0,1].
2. В концах отрезка [0,1] проводим к нему 2 перпендикуляра: левый и правый
3. На левом перпендикуляре вертикальной числовой оси от точки 0 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем все элементы матрицы А стоящих в 1 столбце
4. На правом перпендикуляре от точки 1 его пересечения с отрезком [0,1] откладываем (как на вертикальной числовой оси) все эл-ты столбца матрицы А стоящих в 2 столбце
|
5. Каждую пару точек, изображающих элементы ai1 ai2 i=1,…,m, стоящие в i ой строке матрицы А, соединяем отрезком ai1 ai2. Таким образом будут построены m отрезков, представляющих собой графики m линейных функций
H(Ai,Q)=(ai2-ai1)q+ai1, q принадлежит [0.1] i = 1,…,m
6. Находим верхнюю огибающую семейства отрезков (выпуклая вниз ломанная)
7. На верхней огибающей находим минимальную точку
8. Смешанная стратегия Q0=(1-q0, q0) является оптимальной стратегией игрока B.
9. Ордината минимальной точки верхней огибающей является ценой игры V
10. Верхний из концов нижней огибающей (лежащей на перпендикулярах) есть нижняя цена игры в чистых стратегиях
11. Нижний из концов верхней огибающей (лежащий на перпендикулярах) есть верхняя цена игры в чистых стратегиях
12. Элемент матрицы А, изображающая точка – нижний конец отрезка на котором она лежит и верхним на перпендикуляре будет седловой точкой игры.
21. Доминирование смешанных стратегий для игрока A.
Отыскание решения игр без седловой точки, особенно при достаточно больших размерах платежной матрицы, оказывается сложной задачей. В некоторых случаях эту задачу можно упростить с помощью редуцирования игр, т.е. сведения данной игры со сложной матрицей к игре с более простой матрице. Рассмотрим один из способов редуцирования игр, основанный на принципе доминирования.
Пусть имеем игру с матрицей m*n
рассмотрим две произвольные стратегии А:
P’= (p’I, p’2,…, p’m)
P’’=(p’’I, p’’2,…, p’’m)
Доминирующая стратегия приносит игроку А выигрыш не меньше, чем другая любая.
Стратегия Р’’доминирует стратегию P’ если
∑p’iai1≤∑p’’iai1
∑p’iain≤∑p’’iain
Или ∑p’iaij≤∑p’’iaij j=1,2,…n.
Поиск доминирующих стратегий:
выпуклая линейная комбинация чистых стратегий игрока A:
λ1А1+ λ2А2+…+ λkАk+…+ λmАm
∑ λi=1 λi≥0
λi аналоги вероятностей рi система ограничений:
λk=0
λ1а1j+ λ2a2j+…+λmamj≥akj
∑ λi=1
Стратегия P=(p1= λ1; p2= λ2; pk=0;…;pm=λm)
признаётся доминирующей стратегию Ak
22. Доминирование смешанных стратегий для игрока В.
Отыскание решения игр без седловой точки, особенно при достаточно больших размерах платежной матрицы, оказывается сложной задачей. В некоторых случаях эту задачу можно упростить с помощью редуцирования игр, т.е. сведения данной игры со сложной матрицей к игре с более простой матрице. Рассмотрим один из способов редуцирования игр, основанный на принципе доминирования.
Пусть имеем игру с матрицей m*n
рассмотрим две произвольные стратегии B:
Q’= (q’I, q’2,…, q’m)
Q’’=(q’’I, q’’2,…, q’’m)
Стратегия Q’’доминирует стратегию Q’ если
|
∑q’ja1j≥∑q’’ja1j (средний проигрыш второго игрока в ответ на реализацию игроком А своей 1 стратегии)
∑q’ja2j≥∑q’’ja2j
Или ∑q’jaij≥∑q’’jaij j=1,2,…n.
Доминирующая стратегия приносит игроку В проигрыш не больше, чем другая любая.
Поиск доминирующих стратегий:
выпуклая линейная комбинация чистых стратегий игрока B:
μ1B1+ μ2B2+…+ μkBk+…+ λnBn
∑ μj=1 μj ≥0
μj аналоги вероятностей qj система ограничений:
μk=0
μ1аi1+ μ2ai2+…+ μnain≤aik
∑ μj =1
Стратегия Q=(q1= μ1; q2= μ2; qk=0;…;qn= μn)
признаётся доминирующей стратегию Bk
23. Решение матричной игры m × n сведением к задаче линейного программирования для игрока A.
Решение матричной игры m×n с матрицей А, элементы которой удовлетворяют условию aij>0 i=1,…,m j=1,…,n, эквивалентно решению пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования:
Найти min ∑xi при ограничениях
xi≥0, i=1,…,m ∑ aij xi≥1 j=1,…,n
Найти max ∑yj при ограничениях
yj≥0, j=1,…n ∑ aij yj≤1 i=1,…,m
точнее говоря, если x0=(x10,…,xm0) и y0=(y10,…,yn0) – оптимальные решения задачи, то V=(∑ xi0)-1=(∑ yj0)-1 – цена игры с матрицей А, P0=Vx0=(p01= Vx01,…,pm0= Vx0m)- оптимальная стратегия игрока А, Q0=Vy0=(q01= Vy01,…,qn0= Vy0n) - оптимальная стратегия игрока B,
Необходимо определить оптимальные стратегии P0=(p10,p20,…,pm0) и Q0=(q10,q20,…,qn0), где ∑ pi0 =1, ∑ qj0 =1
Если игрок A применяет смешанную стратегию P0=(p1,p2,…,pm) против любой чистой стратегии Bj игрока B, то он получает средний выигрыш
F(P,Bj)=a1j*p1+a2j*p2+…+amj*pm
В соответствии с теоремой фон Неймана, в любой антагонистической игре существует решение в смешанных стратегиях, т.е. для игрока A существует оптимальная стратегия P0и соответствующий ей оптимальный выигрыш .
Для оптимальной стратегии P0 все средние выигрыши F(P,Bj) не меньше цены игры , поэтому получаем систему неравенств:
a11*p1+a21*p2+…+am1*pm≥V
a1n*p1+a2n*p2+…+amn*pm≥V
x1=p1/V xm=pm/V при V>0
Если величинаV≤0, неравенства можно преобразовать, поменяв игроков ролями и изменив у всех элементов матрицы знак на противоположный.
a11*x1+a21*x2+…+am1*xm≥1
a1n*x1+a2n*x2+…+amn*xm≥1
x1+x2+..+xm=1/V
Цель игрока A – максимизировать свой гарантированный выигрыш, т.е. максимизировать цену игры V. Максимизация цены игры V эквивалентна минимизации величины1/V. Поэтому задача поиска оптимальной стратегии P0для игрока A может быть сформулирована следующим образом:
x1+x2+..+xm→min
a11*x1+a21*x2+…+am1*xm≥1
a1n*x1+a2n*x2+…+amn*xm≥1
xi≥0
P0=(p10=x10*V, p20=x20*V,…, pm0=xm0*V)
V=1/(x10+x20+…+xm0)
Пример:
-2 | ||
-2 | ||
-1 |
Приведем к матрице с положительными элементами, прибавив к каждому ее элементу число, больше макисмального модуля отрицательных элементов матрицы. В данном случае 3>max {│-2│, │-1│}.
Найти минимум целевой функции f(x1, x2, x3)= x1+ x2+ x3
x1>0, x2>0, x3>0
x1+6 x2+5 x3≥1
4 x1+ x2+5 x3≥1
4 x1+6 x2+2 x3≥1
24. Решение матричной игры m × n сведением к задаче линейного программирования для игрока B.
Решение матричной игры m×n с матрицей А, элементы которой удовлетворяют условию aij>0 i=1,…,m j=1,…,n, эквивалентно решению пары двойственных друг другу стандартных задач линейного программирования:
Найти min ∑xi при ограничениях
xi≥0, i=1,…,m ∑ aij xi≥1 j=1,…,n
Найти max ∑yj при ограничениях
yj≥0, j=1,…n ∑ aij yj≤1 i=1,…,m
точнее говоря, если x0=(x10,…,xm0) и y0=(y10,…,yn0) – оптимальные решения задачи, то V=(∑ xi0)-1=(∑ yj0)-1 – цена игры с матрицей А, P0=Vx0=(p01= Vx01,…,pm0= Vx0m)- оптимальная стратегия игрока А, Q0=Vy0=(q01= Vy01,…,qn0= Vy0n) - оптимальная стратегия игрока B,
Если игрок B применяет смешанную стратегию Q0=(q1,q2,…,qn) против любой чистой стратегии Ai игрока A, то он получает средний проигрыш
F(Ai,Q)=ai1*q1+ai2*q2+…+ain*qn
∑qj=1.
Для оптимальной стратегии Q0 все средние проигрыши не больше цены игры , поэтому получаем систему неравенств:
a11*q1+a12*q2+…+a1n*qn≤V
am1*q1+am2*q2+…+amn*qn≤V
y1=q1/V yn=qn/V при V>0
y1+y2+..+yn=1/V
Цель игрока B – минимизировать свой гарантированный проигрыш, т.е. минимизировать цену игры V. Минимизация цены игры эквивалентна максимизации величины 1/V. Поэтому задача поиска оптимальной стратегии Q0 для игрока B может быть сформулирована следующим образом:
y1+y2+..+yn→max
a11*y1+a12*y2+…+a1n*yn≤1
am1*y1+am2*y2+…+amn*yn≤1
yj≥0
Q0=(q10=y10*V, q20=y20*V,…, qn0=yn0*V)
V=1/(y10+y20+…+yn0)
Пример:
-2 | ||
-2 | ||
-1 |
Приведем к матрице с положительными элементами, прибавив к каждому ее элементу число, больше макисмального модуля отрицательных элементов матрицы. В данном случае 3>max {│-2│, │-1│}.
Найти максимум целевой функции φ(y1, y2, y3)= y1+ y2+ y3
y1>0, y2>0, y3>0
y1+4 y2+4 y3≤1
6y1+ y2+6y3≤1
5y1+5y2+2y3≤1
25. Основные понятия и определения теории игр с природой.
В игре с природой действуют 2 игрока, только один из которых действует осознанно – этого игрока называют лицом, принимающего решение (А). природа – второй участник игры не является ни союзником, ни противником игрока А, так как природа как сторона игры не действует осознанно злономеренно против игрока А, а принимает случайным образом одно из своих возможных состояний, не преследуя никаких конкретных целей. при этом игрок А не оказывает никакого влияния на состояние природы. В любой момент времени природа может находиться в одном состоянии. Множество состояний природы Sn={П1,П2,Пn}. Совокупность состояний природы формируется либо на основе имеющегося опыта, либо в результате предположений экспертов.
множество стратегий игрока A: SA={S1,S2, Sm}
vij- результат реализации стратегии активного игрока А при j состоянии природы.
Показателем благоприятности состояния Пj природы П для увеличения выигрыша называется наибольший выигрыш при этом состоянии, то есть наибольший элемент в j-ом столбце: ßj=max vij.
Риском rij игрока А при выборе им стратегии Аi в условиях состояния Пjприроды П называется разность между показателем благоприятности состояния природы природы Пj и выигрышем vij, т.е. разность между выигрышем, который игрок А получил бы, если бы знал заранее, что природа примет состояние Пj, и выигрышем, который он получит при этом же состоянии Пj, выбрав стратегию Аi: rij = .
Таким образом риск rij игрока А при применении им стратегии Аi есть упущенная им возможность максимального выигрыша при этом состоянии природы. Эта упущенная возможность определяется как невыигранная часть величины максимального выигрыша.
Т.е. Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой: не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков или матрицы упущенных возможностей.
rij = (ГДЕ верхняя строка – матрица выигрышей, нижняя – матрица потерь).
Принятие решений в условиях неопределенности:
Принятие решений в условиях неопределенности основано на том, что вероятности различных вариантов развития событий неизвестны. Принятие решений в условиях риска основано на том, что каждой ситуации развития событий может быть задана вероятность его осуществления.
Байес:
vi0*=max{∑vijqj},
vi0*=min{∑vijqj}
Критерий Лапласа относительно выигрышей (недостаточного основания):
vi0*=max{1/n∑vij}
vi0*=min{1/n∑vij}
Критерий Гермейера
vi0*=max min{ ∑vijqj}
vi0*= min max{ ∑vijqj}
Критерий Ходжа – Лемана
vi0*=max{гамма*∑vijqj+(1-гамма)*minvij},
vi0*=min{гамма*∑vijqj+(1-гамма)*maxvij},
в условиях неопределенности:
Гурвица
vi0*=max{α*max vij+(1-α)*min vij},
vi0*=min{α*min vij+(1-α)*max vij}
Вальда
vi0*=max minvij
vi0*=min maxvij
максимакс
vi0*=max max vij
vi0*=min minvij
Сэвиджа
ri0*=min max rij
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!