Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2018-01-28 | 639 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля
Пусть ортонормированная система функций на отрезке
и пусть Обозначим через коэффициенты Фурье функции по ортонормированной системе :
Рассмотрим линейную комбинацию
|
принимает минимальное значение. Запишем его подробнее
|
Первые два слагаемых в первой части равенства (7) не зависят от , а третье слагаемое неотрицательно. Поэтому интеграл (*) принимает минимальное значение при . Интеграл
|
|
Равенство (9) называется тождеством Бесселя. Так как его левая часть неотрицательна, то из него следует неравенство Бесселя
|
т.е. для всякой функции ряд из квадратов коэффициентов Фурье этой функции по ортонормированной системе сходится.
Так как система
|
справедливое для любой функции с интегрируемым квадратом.
Если интегрируема, то в силу необходимого условия сходимости ряда в левой части неравенства (11) получаем, что .
|
Равенство Парсеваля
|
называется равенством Парсеваля-Стеклова (условием полноты).
Тождество Бесселя (9) позволяет записать условие (12) в равносильной форме
Тем самым выполнение условия полноты означает, что частичные суммы ряда Фурье функции сходятся к функции в среднем, т.е. по норме пространства .
Ортонормированная система называется полной в , если всякую функцию можно с любой точностью приблизить в среднем линейной комбинацией вида
с достаточно большим числом слагаемых, т.е. если для всякой функции и для любого найдется натуральное число и числа такие, что
Теорема №7
Если ортонормированная система полна в пространстве , то ряд Фурье всякой функции по этой системе сходится к в среднем, т.е. по норме .
Можно показать, что тригонометрическая система
полна в пространстве Отсюда следует утверждение.
Теорема №8
Если функция , то её тригонометрический ряд Фурье сходится к ней в среднем.
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!