Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=15 и .Записать f(x), F(x), вычислить P(3;30), .

Решение.

1.

2.

3.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал (3;30):

5. Этот же результат можно получить, используя табулированную (просчитанную и заранее занесенную в таблицы) функцию Лапласа:

6. Вероятность того, что абсолютнаявеличина отклонения меньше числа :

где X – непрерывная случайная величина,

а – математическое ожидание случайной величины,

– граница отклонения абсолютной величины случайной величины,

Ф(x) – функция Лапласа,

– среднеквадратическое отклонение.

Значение функции Лапласа равно

Задача 2. Диаметр валика – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=10 мм, .Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Решение:

1. По условию задачи:

а=M(X)=10 мм,

2. Обозначим А событие «абсолютная величина отклонения не превзойдет величины мм». Вероятность события А:

3. Следовательно, интервал, в который с вероятность 0,9973 будут заключены диаметры изготовляемых валиков:

мм.

Решение 2:

1. Величина вероятности 0,9973 соответствует правила «3сигм»:

2. Следовательно,

3. Искомый интервал

мм.

 

Задача3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объемаn=10:

Вариант	xi	-2
частота	ni

 

оценить с надежностью y=0.95 математическое ожиданиеa нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение:

1. Найдем

2. Найдем значение S:

3. По таблице :

 

4. Доверительный интервал:

5. Находим при =2, и он равен

Или

 

 

Задача 4.

Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.8.

Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

Решение:

2. Искомый доверительный интервал таков:

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , если , , .

Решение:

1. По таблицам распределения Стьюдента для степеней свободы находим коэффициент Стьюдента уровня : .

2. Таким образом, с вероятностью :

или .

 

Таблица значений функции Лапласа

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856

 

 

 

Таблица Стьюдента

 

 

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

Вариант №1

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

 

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=11 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(12;15), .

 

Задача 2. Длина пожарного рукава – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=1,5 см, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9545 будут заключены длины рукавов.

 

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

Вариант	xi
частота	ni

 

Оценить с надежностью y=0.95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=100 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.7. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

 

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

 

 

 

Вариант №2

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

 

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=5 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(10;12), .

 

Задача 2. Масса огнетушителя – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=0,2 кг, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.987 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

 

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=5:

Вариант	xi	-2	-2	-5	-6
частота	ni

 

Оценить с надежностью y=0.99 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

 

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=30 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.71. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.99.

 

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

 

 

Вариант №3

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

 

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=6 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(7;14), .

 

Задача 2. Длина лестницы-штурмовки – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=5 см, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.952 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

 

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=30:

Вариант	xi
частота	ni

 

Оценить с надежностью y=0.999 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

 

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=50 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.6. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

 

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

 

 

Вариант №4

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

 

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=7 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(2;10), .

Задача 2. Номинальное давление насосной станции – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=8 МПа, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9157 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

 

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=70:

Вариант	xi	-2
частота	ni

 

Оценить с надежностью y=0.95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

 

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=120 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.75. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.999.

 

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

 

 

Вариант №5

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

 

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=100 и . Записать f(x), F(x), вычислить P(2;10), .

 

Задача 2. Номинальное давление насосной станции – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=100 МПа, . Найти интервал, в который с вероятностью P=0.95 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

 

Задача 3. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:

Вариант	xi	-2
частота	ni

 

Оценить с надежностью y=0.95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

 

Задача 4. Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=250 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.85. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.999.

 

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , Если .

 

 

Практическое занятие 3. Исследованием свойств нормального распределения.

1. Определение свойств нормального распределения.

2. Расчет доверительных интервалов.

3. Использование правила «3 стандартов».

4. Расчет коэффициента Стьюдента.

Задача 1. Распределение случайной величины X подчиненно нормальному закону с параметрами a=15 и .Записать f(x), F(x), вычислить P(3;30), .

Решение.

1.

2.

3.

4. Вероятность попадания случайной величины X в интервал (3;30):

5. Этот же результат можно получить, используя табулированную (просчитанную и заранее занесенную в таблицы) функцию Лапласа:

6. Вероятность того, что абсолютнаявеличина отклонения меньше числа :

где X – непрерывная случайная величина,

а – математическое ожидание случайной величины,

– граница отклонения абсолютной величины случайной величины,

Ф(x) – функция Лапласа,

– среднеквадратическое отклонение.

Значение функции Лапласа равно

Задача 2. Диаметр валика – случайная величина, распределенная по нормальному закону с параметрами M(X)=10 мм, .Найти интервал, в который с вероятностью P=0.9973 будут заключены диаметры изготовленных валиков.

Решение:

1. По условию задачи:

а=M(X)=10 мм,

2. Обозначим А событие «абсолютная величина отклонения не превзойдет величины мм». Вероятность события А:

3. Следовательно, интервал, в который с вероятность 0,9973 будут заключены диаметры изготовляемых валиков:

мм.

Решение 2:

1. Величина вероятности 0,9973 соответствует правила «3сигм»:

2. Следовательно,

3. Искомый интервал

мм.

 

Задача3 Из генеральной совокупности извлечена выборка объемаn=10:

Вариант	xi	-2
частота	ni

 

оценить с надежностью y=0.95 математическое ожиданиеa нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

Решение:

1. Найдем

2. Найдем значение S:

3. По таблице :

 

4. Доверительный интервал:

5. Находим при =2, и он равен

Или

 

 

Задача 4.

Количественный признак X генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n=25 найдено исправленное среднеквадратическое отклонение s=0.8.

Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднеквадратическое отклонение с надежностью 0.95.

Решение:

2. Искомый доверительный интервал таков:

Задача 5. Найти доверительный интервал для математического ожидания нормальной случайной величины с надежностью , если , , .

Решение:

1. По таблицам распределения Стьюдента для степеней свободы находим коэффициент Стьюдента уровня : .

2. Таким образом, с вероятностью :

или .

 

Таблица значений функции Лапласа

x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)	x	Ф(x)
0,00	0,00000	0,50	0,19146	1,00	0,34134	1,50	0,43319	2,00	0,47725	3,00	0,49865
0,01	0,00399	0,51	0,19497	1,01	0,34375	1,51	0,43448	2,02	0,47831	3,05	0,49886
0,02	0,00798	0,52	0,19847	1,02	0,34614	1,52	0,43574	2,04	0,47932	3,10	0,49903
0,03	0,01197	0,53	0,20194	1,03	0,34849	1,53	0,43699	2,06	0,48030	3,15	0,49918
0,04	0,01595	0,54	0,20540	1,04	0,35083	1,54	0,43822	2,08	0,48124	3,20	0,49931
0,05	0,01994	0,55	0,20884	1,05	0,35314	1,55	0,43943	2,10	0,48214	3,25	0,49942
0,06	0,02392	0,56	0,21226	1,06	0,35543	1,56	0,44062	2,12	0,48300	3,30	0,49952
0,07	0,02790	0,57	0,21566	1,07	0,35769	1,57	0,44179	2,14	0,48382	3,35	0,49960
0,08	0,03188	0,58	0,21904	1,08	0,35993	1,58	0,44295	2,16	0,48461	3,40	0,49966
0,09	0,03586	0,59	0,22240	1,09	0,36214	1,59	0,44408	2,18	0,48537	3,45	0,49972
0,10	0,03983	0,60	0,22575	1,10	0,36433	1,60	0,44520	2,20	0,48610	3,50	0,49977
0,11	0,04380	0,61	0,22907	1,11	0,36650	1,61	0,44630	2,22	0,48679	3,55	0,49981
0,12	0,04776	0,62	0,23237	1,12	0,36864	1,62	0,44738	2,24	0,48745	3,60	0,49984
0,13	0,05172	0,63	0,23565	1,13	0,37076	1,63	0,44845	2,26	0,48809	3,65	0,49987
0,14	0,05567	0,64	0,23891	1,14	0,37286	1,64	0,44950	2,28	0,48870	3,70	0,49989
0,15	0,05962	0,65	0,24215	1,15	0,37493	1,65	0,45053	2,30	0,48928	3,75	0,49991
0,16	0,06356	0,66	0,24537	1,16	0,37698	1,66	0,45154	2,32	0,48983	3,80	0,49993
0,17	0,06749	0,67	0,24857	1,17	0,37900	1,67	0,45254	2,34	0,49036	3,85	0,49994
0,18	0,07142	0,68	0,25175	1,18	0,38100	1,68	0,45352	2,36	0,49086	3,90	0,49995
0,19	0,07535	0,69	0,25490	1,19	0,38298	1,69	0,45449	2,38	0,49134	3,95	0,49996
0,20	0,07926	0,70	0,25804	1,20	0,38493	1,70	0,45543	2,40	0,49180	4,00	0,49997
0,21	0,08317	0,71	0,26115	1,21	0,38686	1,71	0,45637	2,42	0,49224	4,05	0,49997
0,22	0,08706	0,72	0,26424	1,22	0,38877	1,72	0,45728	2,44	0,49266	4,10	0,49998
0,23	0,09095	0,73	0,26730	1,23	0,39065	1,73	0,45818	2,46	0,49305	4,15	0,49998
0,24	0,09483	0,74	0,27035	1,24	0,39251	1,74	0,45907	2,48	0,49343	4,20	0,49999
0,25	0,09871	0,75	0,27337	1,25	0,39435	1,75	0,45994	2,50	0,49379	4,25	0,49999
0,26	0,10257	0,76	0,27637	1,26	0,39617	1,76	0,46080	2,52	0,49413	4,30	0,49999
0,27	0,10642	0,77	0,27935	1,27	0,39796	1,77	0,46164	2,54	0,49446	4,35	0,49999
0,28	0,11026	0,78	0,28230	1,28	0,39973	1,78	0,46246	2,56	0,49477	4,40	0,49999
0,29	0,11409	0,79	0,28524	1,29	0,40147	1,79	0,46327	2,58	0,49506	4,45	0,50000
0,30	0,11791	0,80	0,28814	1,30	0,40320	1,80	0,46407	2,60	0,49534	4,50	0,50000
0,31	0,12172	0,81	0,29103	1,31	0,40490	1,81	0,46485	2,62	0,49560	4,55	0,50000
0,32	0,12552	0,82	0,29389	1,32	0,40658	1,82	0,46562	2,64	0,49585	4,60	0,50000
0,33	0,12930	0,83	0,29673	1,33	0,40824	1,83	0,46638	2,66	0,49609	4,65	0,50000
0,34	0,13307	0,84	0,29955	1,34	0,40988	1,84	0,46712	2,68	0,49632	4,70	0,50000
0,35	0,13683	0,85	0,30234	1,35	0,41149	1,85	0,46784	2,70	0,49653	4,75	0,50000
0,36	0,14058	0,86	0,30511	1,36	0,41309	1,86	0,46856	2,72	0,49674	4,80	0,50000
0,37	0,14431	0,87	0,30785	1,37	0,41466	1,87	0,46926	2,74	0,49693	4,85	0,50000
0,38	0,14803	0,88	0,31057	1,38	0,41621	1,88	0,46995	2,76	0,49711	4,90	0,50000
0,39	0,15173	0,89	0,31327	1,39	0,41774	1,89	0,47062	2,78	0,49728	4,95	0,50000
0,40	0,15542	0,90	0,31594	1,40	0,41924	1,90	0,47128	2,80	0,49744	5,00	0,50000
0,41	0,15910	0,91	0,31859	1,41	0,42073	1,91	0,47193	2,82	0,49760
0,42	0,16276	0,92	0,32121	1,42	0,42220	1,92	0,47257	2,84	0,49774
0,43	0,16640	0,93	0,32381	1,43	0,42364	1,93	0,47320	2,86	0,49788
0,44	0,17003	0,94	0,32639	1,44	0,42507	1,94	0,47381	2,88	0,49801
0,45	0,17364	0,95	0,32894	1,45	0,42647	1,95	0,47441	2,90	0,49813
0,46	0,17724	0,96	0,33147	1,46	0,42785	1,96	0,47500	2,92	0,49825
0,47	0,18082	0,97	0,33398	1,47	0,42922	1,97	0,47558	2,94	0,49836
0,48	0,18439	0,98	0,33646	1,48	0,43056	1,98	0,47615	2,96	0,49846
0,49	0,18793	0,99	0,33891	1,49	0,43189	1,99	0,47670	2,98	0,49856

 

 

 

Таблица Стьюдента