История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2018-01-04 | 173 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Центральная предельная теорема (ЦПТ) (в формулировке Ляпунова А.М. для одинаково распределенных СВ). Если попарно независимые СВ X1, X2,..., Xn,... имеют одинаковый закон распределения с конечными числовыми характеристиками M[Xi] = m и D[Xi] = s2, то при n ® ¥ закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n×m, ).
Следствие. Если в условии теоремы СВ , то при n ® ¥ закон распределения СВ Y неограниченно приближается к нормальному закону N(m, s/ ).
Теорема Муавра-Лапласа. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Тогда при n ® ¥ и фиксированном значении вероятности “успеха” в одном испытании p закон распределения СВ K неограниченно приближается к нормальному закону N(n×p, ).
3 Пусть СВ Xi подчиняется закону распределения Бернулли, следовательно M[Xi] = p и D[Xi] = s2 = p×q. Так как согласно ЦПТ при n ® ¥ и фиксированном значении p закон распределения СВ неограниченно приближается к нормальному закону N(n× p, ), что и требовалось показать. 4
Следствие. Если в условии теоремы вместо СВ К рассмотреть СВ К/n - частоту “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли, то ее закон распределения при n ® ¥ и фиксированном значении p неограниченно приближается к нормальному закону N(p, ).
Замечание. Пусть СВ К - число “успехов” в n испытаниях по схеме Бернулли. Законом распределения такой СВ является биноминальный закон. Тогда при n ® ¥ биноминальный закон имеет два предельных распределения:
n распределение Пуассона (при n ® ¥ и l = n×p = const);
n распределение Гаусса N(n×p, ) (при n ® ¥ и p = const).
Пример. Вероятность “успеха” в одном испытании всего лишь p = 0,8. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не менее 0,9 можно ожидать, что наблюдаемая частота “успеха” в испытаниях по схеме Бернулли отклонится от вероятности p не более чем на e = 0,01?
Решение. Для сравнения решим задачу двумя способами:
а) На основе второго неравенства Чебышева имеем:
Следовательно:
б) Используя теорему Муавра-Лапласа и учитывая, что если СВ Y ~N(m, s), то получаем:
Следовательно: , т.е. почти в четыре раза меньше.
При этом полученное значение настолько велико, что погрешностью используемой формулы можно пренебречь.
Задача 2. По полосе укреплений противника осуществляется залп из 100 орудий. При стрельбе из одного такого орудия математическое ожидание числа попаданий равно 2, а среднеквадратическое отклонение числа попаданий равно 1,5. Найти приближенно вероятность того, что в полосу укреплений противника попадет от 180 до 220 снарядов.
Задача 3. Противник атакует полосу укреплений, используя в наступлении 50 танков. Вероятность вывода из строя танка в этом бою равна 0,4. Если выведено из строя не менее 35% танков, то противник прекращает свое наступление. Требуется найти вероятность того, что противник откажется от наступления.
Точечные оценки параметров
Статистикой называется любая функция выборочных значений x1, x2,... xn: G = G(x1, x2,... xn).
Точечной оценкой Q неизвестного параметра J называется любая статистика G = G(X1, X2,... Xn), распределение которой сосредоточено вблизи неизвестного значения J. Критерии качества оценок:
Несмещенность. Оценка Q называется несмещенной оценкой J, если M[Q] = J.
Состоятельность. Оценка Q называется состоятельной, если она становится все более точной с ростом объема выборки n, т.е.:
при n ® ¥ или для любого e > 0
Эффективность. Оценка Q называется эффективной среди оценок Qi, если ее дисперсия является наименьшей среди всех дисперсий этих оценок Qi.
Точечные оценки M[X], D[X] и их свойства
Утверждение 1. Точечная оценка параметра M[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех линейных оценок вида:
3 Так как Xi являются независимыми СВ, закон распределения которых совпадает с законом распределения СВ X, т.е. M[X] = M[Xi], D[X] = D[Xi]. Тогда, используя свойства математического ожидания и дисперсии имеем:
, т.е. несмещенность доказана.
Из следствия закона больших чисел в форме Чебышева очевидно, что при n ® ¥ или для любого e > 0 справедливо
, т.е. состоятельность оценки доказана.
Покажем, что точечная оценка является эффективной в классе всех линейных оценок вида:
Имеем Определим значения Zi, при которых функция принимает минимальное значение при условии . Для нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа
,
тогда необходимые условия минимума функции Лагранжа определяет система из уравнений (1) и (2). Из уравнения (1) для i = 1,2,..., n получаем Zi = l/2. Из уравнения (2) следует l = 2/n. Тогда Zi = 1/n для i = 1,2,..., n, что и требовалось показать. 4 |
Утверждение 2. Точечная оценка параметра D[X], является смещенной так как .
Утверждение 3. Точечная оценка параметра D[X], является несмещенной, состоятельной и эффективной в классе всех квадратичных оценок вида:
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!