Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2018-01-07 | 482 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Уравнение вида , где p, q – заданные числа называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами.
Линейное ДУ второго порядка без правой части , соответствующее ЛНДУ, называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ).
Теорема (о структуре общего решения ЛНДУ). Общим решением ЛНДУ является сумма его общего решения уоо соответствующего ЛОДУ и произвольного частного решения учн, то есть у = учн + уоо.
Рассмотрим нахождение общего решения уоо и частного решения учн.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка . Если и – корни характеристического уравнения (для этого необходимо заменить на , – на , – на1), то общее решение записывается в одном из следующих трех видов (табл. 1):
Общее решение линейного однородного дифференциального
уравнения второго порядка
Таблица 1.
Корни и | Общее решение ЛОДУ | |
1) | действительные и различные () | |
2) | действительные и равные () | |
3) | комплексные (а и b – действительные числа) |
Пример 14. Найти общее решение уравнения .
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: ; ; . Т.к. и – действительные и различные числа, то общее решение записывается в виде: .
Пример 15. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: , , – комплексно-сопряженные корни, , . Общее решение имеет вид , отсюда .
Пример 16. Найти общее решение уравнения .
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: . Найдем его корни: . Тогда .
Найдём теперь частное решение неоднородного уравнения
Рассмотрим следующие случаи:
1) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид , где P (x)-многочлен.
|
Тогда неоднородное уравнение имеет частное решение вида , где Q (x)-многочлен той же степени, что и P (x), k-кратность корня характеристического уравнения, равного m (то есть сколько корней характеристического уравнения равно m).
Неизвестные коэффициенты многочлена Q (x) находим с помощью метода неопределённых коэффициентов.
Это правило верно и при m =0, когда правая часть есть многочлен. В частных случаях P (x) может быть и постоянной величиной (числом).
2) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид .
Если числа являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида .
Если числа не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида .
Если a =0 или b =0, решение всё равно следует искать в общем виде.
3) Пусть правая часть неоднородного уравнения имеет вид , где P1 (x) и P2 (x) –многочлены.
Если числа m являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида .
Если числа не являются корнями характеристического уравнения, то неоднородное уравнение имеет частное решение вида .
Q 1(x) и Q 2(x)-многочлены степени, равной высшей из степеней многочленов P 1(x) и P 2(x)
Замечание. Частное решение ЛНДУ имеет тот же вид, что и специальная правая часть, но если число является корнем характеристического уравнения кратности r, то в частном решении присутствует множитель .
Немногим более сложные виды специальной правой части рекомендуем разобрать самостоятельно.
Пример 17. Решить уравнение , ,
Решение. Данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка со специальной правой частью () Соответствующее однородное уравнение имеет вид .
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни: , .
Тогда общее решение ЛОДУ имеет вид .
Найдем частное решение ЛНДУ. Т.к. , , и число является простым (однократным) корнем характеристического уравнения (совпадает с ), то частное решение будем искать в виде . Для отыскания неопределенного коэффициента А подставим в данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение, предварительно вычислив , . Получаем равенство
|
, откуда находим . Таким образом .
Так как. общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения находится в виде , то окончательно получаем .
Теперь подставим начальные условия в полученное решение, получим
, ,
,
, .
Решив систему, получаем , .
Частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям,
.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!