Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2018-01-07 | 338 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Ранее рассмотрели теоремы о пределах суммы, разности, произведения, частного, где пределы рассмотренных компонент существовали и были конечны. Рассмотрим случаи, когда пределы бесконечны или случай, когда предел делителя равен нулю.
I. Неопределенность вида
Пусть
1) Пусть рациональная дробь (отношение двух многочленов).
Выделить множитель и сократить дробь на него. Такое сокращение возможно, т.к. но , т.е.
Пример 9.1.
2) Пусть дробь, содержащая иррациональные выражения.
«Избавиться» от иррациональности, домножив числитель и знаменатель на соответствующее сопряженное выражение.
Пример 9.2.
3) Для раскрытия неопределенности , содержащей тригонометрические выражения, применяют 1-й замечательный предел.
II. Неопределенность вида
Для того, чтобы раскрыть неопределенность вида , заданную отношением двух многочленов, надо числитель и знаменатель разделить на наибольшую степень переменного.
Пример 9.3.
Пример 9.4.
Пример 9.5.
Замечание. , ,
III. Неопределенность вида
Неопределенность вида преобразуется к неопределенности вида или путем умножения и деления на сопряженную величину или приведения к общему знаменателю.
Пример 9.6.
Пример 9.7.
IV. Неопределенность вида
Неопределенность вида сводится к неопределенности или .
Пример 9.8.
Первый признак существования предела
def. Переменная (числовая последовательность ) называется
· неубывающей, если
· возрастающей, если
· невозрастающей, если
· убывающей, если
Возрастающие и убывающие переменные называются монотонными.
def. Переменная называется ограниченной сверху, если все ее значения не превосходят некоторого числа M, т.е.
|
def. Переменная называется ограниченной снизу, если
Теорема. Первый признак существования предела
Если переменная возрастает и ограничена сверху, то она имеет конечный предел.
Если переменная убывает и ограничена снизу, то она имеет конечный предел.
Второй признак существования предела переменной
Теорема (о сжатой переменной). Если для переменных выполняется неравенство , и при этом , то .
Доказательство:
Первый замечательный предел
Функция не определена при .
Рассмотрим и докажем, что
первый замечательный предел.
Доказательство:
Пример 12.1.
Пример 12.2.
Второй замечательный предел
Рассмотрим переменную
…………………….
Значения возрастают. Можно доказать, что
Переменная возрастает и ограничена сверху. По 1-му признаку существования переменной существует предел , а именно
.
Логарифмы по основанию е называются натуральными и обозначаются
Докажем, что второй замечательный предел.
Неопределенность вида .
Доказательство.
и принимает целые и дробные, положит-ые и отрицат-ые значения.
Рассмотрим случай, когда . Для любого положительного числа имеет место неравенство (*) (можно считать, что
Перейдем к обратным величинам
прибавим по 1,
или .
Возведем в степени с показателями из (*). Неравенство усилится
Найдем пределы крайних членов неравенства ().
По теореме о сжатой переменной
Можно доказать, что
Таким образом, второй замечательный предел.
Положим тогда . Если то
другая форма второго замечательного предела.
Пример 13.1.
Пример 13.2.
Пример 13.3.
|
|
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!