Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a отминус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,….

На рисунке ниже приведены графики степенныхфнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x.

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция нечетная, так как .

· Функция возрастает при .

· Функция выпуклая при и вогнутая при (кроме линейной функции).

· Точка (0;0) является точкой перегиба (кроме линейной функции).

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (-1;-1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,….

В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола.

 

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

· Область определения: .

· Область значений: .

· Функция четная, так как .

· Функция возрастает при , убывает при .

· Функция вогнутая при .

· Точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· Функция проходит через точки (-1;1), (0;0), (1;1).

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,….

 

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность, графиком которой является гипербола.

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а.

Начнем со случая, когда .

Для примера приведем графики логарифмической функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. При других значениях основания, не превосходящих единицы, графики логарифмической функции будут иметь схожий вид.

 

Основные элементарные функции, их свойства и графики.

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

· область определения функции;

· поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);

· четность и нечетность;

· область значений функции;

· промежутки возрастания и убывания, точки экстремума;

· промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);

· наклонные и горизонтальные асимптоты;

· особые точки функций;

· особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Корень n -ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n -ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n.

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n.

· Область определения: множество всех неотрицательных действительных чисел .

· При x=0 функция принимает значение, равное нулю.

· Эта функция общего вида (не является четной или нечетной).

· Область значений функции: .

· Функция при четных показателях корня возрастает на всей области определения.

· Эта функция имеет выпуклость, направленную вверх, на всей области определения, точек перегиба нет.

· Асимптот нет.

· График функции корень n -ой степени при четных n проходит через точки (0,0) и (1,1).

Корень n -ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

 

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n.

· Область определения: множество всех действительных чисел.

· Эта функция нечетная.

· Область значений функции: множество всех действительных чисел.

· Функция при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения.

· Эта функция вогнутая на промежутке и выпуклая на промежутке , точка с координатами (0,0) – точка перегиба.

· Асимптот нет.

· График функции корень n -ой степени при нечетных n проходит через точки (-1,-1), (0,0) и (1,1).

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a. В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a, далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a.

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a. Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a отминус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.