Функция распределения, или интегральный закон распределения

Вероятность Р (Х < х) того, что случайная величина Х окажется меньше некоторого вещественного числа х, называется функцией распределения Х, обозначается F (x) и определяется следующим образом:

F (x) = P (X < x).

 

Введение функции распределения F (x) оправдано тем, что она одинаково хорошо описывает как непрерывную, так и дискретную случайную величину.

Свойства функции распределения:

1) 0 ≤ F (x) ≤ 1;

2) F (x ₁) ≤ F (x ₂), если х ₁ < x ₂ (F (x) – неубывающая функция);

3) F (–∞) = 0;

4) F (+∞) = 1;

5) P (α < X < β) = F (β) – F (α).

 

Часто F (x) называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Числовые характеристики непрерывной случайной величины

 

Для непрерывной случайной величины:

;

. (1.7)

 

Формулу (1.7) можно преобразовать к более удобному для вычислений виду:

;

.

 

Равномерное, нормальное и показательное распределения

 

Встречаются такие непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного отрезка, и кроме того, известно, что в пределах этого отрезка все значения случайной величины равновероятны (имеют постоянную плотность вероятности). О таких величинах говорят, что они равномерно распределены. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на [ a, b ], если f (x) имеет следующий вид:

.

Из условия нормирования следует, что .

 

Для равномерного распределения функция распределения имеет вид:

Числовые характеристики равномерного распределения:

, , .

Случайная величина, распределенная по показательному закону, имеет плотность вероятности:

,

где λ > 0.

 

Его числовые характеристики:

, , .

Случайная величина Х распределена по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

,

где а, σ – параметры, вероятностный смысл которых: а – математическое ожидание; σ – среднее квадратическое отклонение Х.

 

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна:

,

где - функция Лапласа.

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения случайной величины Х от математического ожидания меньше положительного числа δ, равна:

 

Р (| Х – а | < δ) = 2 Ф (δ / σ).

Математическая статистика»

1. Множество всех возможных значений случайной величины Х называется генеральной совокупностью Х.

Выборкой называется подмножество из генеральной совокупности, статистические характеристики (среднее, дисперсия и т.д.) которого близки к статистическим характеристикам генеральной совокупности.

Вариационным рядом выборки { х ₁, х ₂, …, х_n } значений случайной величины Х называется последовательность пар чисел (х_i, n_i) , составленная при условии, что х _i+1 > x _i, n_i - число наблюдений величины х_i в выборке, m – число различных значений x_i в выборке.

Величины х_i называются вариантами вариационного ряда; величина n

(2.1)

– объемом выборки; n_i - частотой варианты х_i, а величина p_i

(2.2)

– относительной частотой.

 

2. При большом значении n для упрощения статистической обработки выборки вариационный ряд разбивается на интервалы одинаковой длины, в каждый из которых попадают варианты с близкими значениями. Длина интервала h_x находится по формуле Стерджеса:

, (2.3)

где х_min и х_max – минимальное и максимальное значения вариант в выборке, а в качестве h_x удобно брать целое четное число, ближайшее к значению правой части в (2.3).

За начало первого интервала принимается значение х_нач.= х _min– h_x/ 2. Конец последнего интервала х_кон. должен удовлетворять условию х_кон. – h_x ≤ х_max ≤ х_кон.. Варианта, попадающая на границу интервалов, включается в оба интервала с весом 0,5.

Можно также руководствоваться и другим правилом, например, включать в интервал варианту, совпадающую с началом интервала, а варианту, совпадающую с концом, не включать в интервал, либо наоборот. Важно лишь придерживаться выбранного правила и при заполнении корреляционной таблицы. Полученное представление выборки называется интервальным рядом распределения Х.

При интервальном распределении, помимо h_x, вводятся также следующие характеристики: – середина i -го интервала; – частота для i -го интервала, равная числу вариант, попавших в i -й интервал;

(2.4)

- относительная частота для i -го интервала.

 

3. Для графического представления интервального ряда используется гистограмма, представляющая собой совокупность прямоугольников ( - число интервалов) на плоскости (х, ) (рис. 6). Основание каждого прямоугольника равно длине интервала h_x, а высота i -го прямоугольника равна относительной частоте .

Рис.6

 

4. Модой М ₀ интервального распределения случайной величины называется середина интервала с максимальной относительной частотой (на рис. 6 это интервал, соответствующий заштрихованному прямоугольнику).

Медианой М _е выборки называется значение срединного элемента вариационного ряда. Для интервального распределения при четном числе интервалов медианой является граница двух срединных интервалов, а при нечетном числе интервалов – середина срединного интервала (на рис. 6 медианой является середина заштрихованного интервала).

 

5. Выборка величины Х может быть охарактеризована статистическим параметрами: средним, дисперсией, среднимквадратическимотклонением, которые вычисляются соответственно по формулам:

(2.5)

, (2.6)

. (2.7)

Аналогичные величины для интервального распределения случайной величины Х вычисляются по формулам:

, (2.8)

, (2.9)

. (2.10)

 

Величины , D_хв, σ_хв называются соответственно выборочным средним, выборочной дисперсией и выборочным средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

6. Пусть для параметра а из опыта получена несмещенная оценка ã. Находится такое значение ε, для которого вероятность теоретического распределения равна Р (| ã – a |< ε)= β, где задаваемое значение β близко к 1. Вероятность β называется доверительной вероятностью, а интервал l _β = (ã – ε; ã + ε), в который с вероятностью β попадает параметр а, называется доверительным интервалом.

В случае нормального распределения Х при большом объеме выборки доверительный интервал для оценки математического ожидания Х находится по формуле

. (2.11)

Значение параметра ε определяется из равенства

, (2.12)

где β ≥ 0,8 – доверительная вероятность,

(2.13)

- несмещенная оценка дисперсии Х, а Ф(х) – функция Лапласа (Приложение 2). Из таблицы по заданной вероятности β находится значение аргумента х_β функции Ф. По найденному значению х_β находится ε:

. (2.14)

Доверительный интервал для оценки дисперсии Х находится по формуле

, (2.15)

где ε′ находится из условия

.

Обозначая через х′_β найденное из таблицы значение аргумента функции Лапласа, параметр ε′ находится из формулы

. (2.16)

 

7. В случае, если интервальное распределение Х подчиняется нормальному закону, теоретическая частота для i -го интервала n_it рассчитывается по формуле

 

, (2.17)

где

, , (2.18)

х_i и х_i+1 – начало и конец i -го интервала, а Ф (z) – функция Лапласа.

Значение каждой из найденных теоретических частот для i -го интервала заносится с абсциссой (х_i+x_i+1)/ 2 на рис.6. Через полученные точки проводим теоретическую кривую плотности вероятности Х и делаем вывод о качественном и количественном совпадениях эмпирической и теоретической кривых.

8. Проверку гипотезы о том, что полученное интервальное распределение величины Х подчинено нормальному закону, можно сделать с помощью критерия Пирсона.

При использовании этого критерия может возникнуть необходимость в построении дополнительной таблицы, если в интервальном распределении имеются интервалы с малочисленными частотами, в которых либо , либо .

В этом случае малочисленные интервалы объединяются с соседними так, чтобы в новом интервальном распределении с числом интервалов l эмпирические частоты n_iэ и теоретические частоты k_it для любого i- го интервала удовлетворяли условиям: n_iэ ≥ 5, k_it ≥5. После этого заполняется таблица (n_iэ, k_it).

Критерий Пирсона заключается в следующем. Вычисляется случайная функция , равная

. (2.19)

 

Находится число степеней свободы k

k = l – r – 1, (2.20)

где для нормального распределения r = 2.

При заданном уровне значимости α и найденном значении k, по таблице критических точек теоретического распределения х ² (Приложение 3) находится критическое значение . Если > , то гипотеза о нормальном распределении Х принимается, в противном случае отвергается.

 

9. Связь между случайными величинами Х и Y может носить случайный характер. В этом случае говорят о статистической связи Х и Y.

Если среднее значение Х (Y) функционально зависит от значений Y, то говорят о корреляционной связи Х и Y.

Для выяснения вопроса о том, существует ли корреляция между Х и Y, интервальный ряд записывается в виде корреляционной таблицы 1.

 

Таблица 1

					ny
nx					n = 23

 

В первой строке последовательно записываются значения середин интервалов в интервальном распределении Х, а в первом столбце – последовательные значения середин интервалов в интервальном распределении Y.

На пересечении i -й строки и j -го столбца записывается частота n_xy, равная числу вариант из Х, попавших в j -й интервал интервального распределения Х, при одновременном попадании в i -й интервал интервального распределения Y n_xy вариант из Y. В случае n_xy = 0 в соответствующей клетке таблицы ставится ноль. В последней строке записываются суммы всех n_xy при данных значениях , а в последнем столбце – суммы всех n_xy при данных значениях .

В клетке, расположенной в нижнем правом углу таблицы, записывается сумма всех частот n = ∑ n_x = ∑ n_y.

10. Если в корреляционной таблице в основном заполнены клетки вблизи одной или другой диагонали (как в таблице 1), то стоит искать линейную связь между Х и Y.

Если заполненное большинство клеток таблицы образует какую-то кривую, то искать линейную связь между Х и Y не имеет смысла.

Выборочный коэффициент корреляции r _в характеризует степень корреляции (связи) между Х и Y и изменяется в пределах 0 ≤ | r_в | ≤ 1. При r _в = 0 корреляция между Х и Y отсутствует, а при | r_в | = 1 корреляция между Х и Y переходит в функциональную связь.

В предположении линейной корреляции между Х и Y r_в рассчитывается по формуле

 

, (2.21)

 

где определяется по формуле (2.8), а - по аналогичной формуле; σ_х рассчитывается по формулам (2.9), (2.10), а σ_у – по аналогичным формулам.

В качестве примера найдем r_в из данных таблицы 1:

s_у» 1,521.

По формуле (2.21) находим r_в:

.

Можно сделать вывод, что между Х и Y имеется заметная корреляция.

 

11. Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины Y при Х = х, где х – определенное значение случайной величины Х, называется произведение возможных значений Y на их условные вероятности:

Как видно из формулы, условное математическое ожидание M [ Y | x ] является функцией от х:

M [ Y | x ] = f (x),

которую называют функцией регрессии Y на Х.

 

Аналогично определяется условное математическое ожидание дискретной случайной величины Х и функция регрессии Х на Y:

M [ X | y ] = j (у).

Величины M [ Y | x ] и M [ Х | у ] обозначаются, собственно как и .

Уравнения и называются эмпирическими или выборочными линиями регрессии Y на Х и Х на Y соответственно.

В случае линейной корреляции между Х и Y эти линии будут прямыми и определяются уравнениями:

; (2.22)

 

. (2.23)

Задания на контрольную работу № 5

1. В книге 150 страниц. Какова вероятность того, что порядковый номер наудачу открытой страницы будет: а) оканчиваться цифрой 3; б) число кратное 5; в) число 25?

 

2. Чему равна вероятность того, что наудачу выбранные последовательно 4 цифры: 1) не содержат цифру 0; 2) все различны; 3) образуют четырехзначное число?

 

3. Шифр сейфа состоит из 6 цифр. Набор одной комбинации занимает 1 минуту. Какова вероятность того, что в течение часа удастся вскрыть сейф?

 

4. Номер телефона состоит из 7 цифр. Какова вероятность того, что все цифры наугад набранного номера различные?

 

5. Слово «планета» составлено из букв разрезной азбуки. Карточки с отдельными буквами тщательно перемешаны. Какова вероятность того, что: а) разложив в ряд, получим слово «крыша»; б) разложив в ряд 4 случайно отобранные карточки, получим слово «план»?

 

6. Какова вероятность того, что трехзначный номер случайно взятого автомобиля: а) имеет все одинаковые цифры; б) имеет все различные цифры?

 

7. Найти вероятность того, что наугад взятое двухзначное число окажется: а) кратным 2; б) кратным 5; в) кратным 2-м и 5-ти одновременно.

 

8. Из цифр 1,2,3,4,5,6,7 составляются трехзначные числа при условии. Что ни одна цифра не повторяется. Какова вероятность того, что: а) это будет число 765; б) трехзначное число будет состоять из цифр 7,6,5?

 

9. В урне находится 5 шаров, их которых 3 красных. Найти вероятность того, что из трех взятых шаров два будут красными, если: а) выбор происходит без возврата; б) после каждого выбора шар возвращается в урну.

 

10. На полку ставят четырехтомник Лермонтова. Какова вероятность того, что: а) все тома будут расставлены по порядку; б) на своем месте будет только первый том?

 

11. Три спортсмена участвуют в соревнованиях. Вероятность зачисления в сборную команду первого, второго и третьего соответственно равны 0,8; 0,7; 0,6. Найти вероятность того, того, что: а) только один спортсмен попадает в сборную; б) хотя бы один попадает в сборную.

 

12. Вероятность своевременного прибытие каждого поезда дальнего следование равна 0,9. Какова вероятность того, что: а) 4 последовательно прибывших поезда прибудут без опоздания; б) хотел бы один поезд не опоздает?

 

13. Вероятности успешной сдачи экзамена по первому, второму и третьему предмету у данного студента равны 0,6; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что он: а) сдаст все экзамены; б) не сдаст хотя бы один экзамен; в) сдаст только первый экзамен.

14. Вероятность того, что человек в возрасте 60 лет не умрет в ближайший год, равна 0,9. Страховая компания страхует на год жизни двух людей 60-ти лет. Какова вероятность того, что компания: а) будет платить хотя бы по одному страховому полису; б) будет платить только по одному полису?

15. Студент пришёл на зачёт, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачёт, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает один вопрос?

16. Брошены три монеты. Предлагая, что элементарные события равновероятны, найти вероятность событий: А = {монета выпала «гербом вверх»}, В = {выпало ровно два «герба»}, С = {выпало не более двух «гербов»}.

17. Сортировочная станция для приема имеет 3 пути. Вероятность того, что пути свободны, соответственно равны 0,2; 0,3; 0,4. Определить вероятность того, что: а)хотя бы один путь свободен; б)все пути свободны; в)только один путь занят.

18. Вероятность наличие свободного места в самолете 0,8; на поезде-0,7; на теплоходе-0,6. Определить вероятность: а) наличие хотя бы одного свободного места; б) наличие свободных мест только на одном виде транспорта; в) наличие свободных мест только на поезде.

19. Турист приехал в город, в котором две гостиницы. Вероятность наличие свободных мест в первой гостинице-0,8, во второй-0,6. Определить вероятность наличия свободных мест хотя бы в одной из гостиниц.

20. Вероятность того, что частный предприниматель получит ссуду в первом, втором, третьем банке равна соответственно 0,4; 0,5; 0,6. Предприниматель последовательно обращается во все три банка, начиная с первого. В следующий банк предприниматель обращается лишь в случае отказа в предыдущем банке. Какова вероятность того, что он получит ссуду?

21. На склад поступает продукция трех фабрик, причем первая фабрика поставляет 20%, вторая 30%, третья 50% изделий. Первая фабрика производит 0,5% нестандартных деталей, вторая и третья – 0,3% и 0,2% соответственно. Со склада наудачу выбирают одно изделие, которое оказалось нестандартным. Найти вероятность того, что оно изготовлено на второй фабрике.

22. В сеансе одновременной игры в шахматы с гроссмейстером играют 10 перворазрядников и 15 второразрядников. Вероятность того, что в таком сеансе перворазрядник выиграет у гроссмейстера, равна 0,2; для второразрядника эта вероятность равна 0,1. Случайно выбранный участник выиграл. Какова вероятность, что это был второразрядник?

23. Турист решивший отдохнуть в США, узнал, что в июле в Калифорнии бывает в среднем 20 солнечных дней, во Флориде 22, а на Гавайях – 24. Из трех рассматриваемых проспектов он случайным образом выбирает один и отправляется в соответствующее место. Турист приехал на отдых и попал под дождь. Какова вероятность того, что он отдыхал на Гавайях?

24. Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 7 белых и 8 черных шаров, во втором 10 белых, в третьем 5 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найти вероятность того, что он взят из второго ящика?

25. В тире имеются четыре ружья, вероятности попадания из каждого равны соответственно 0,6; 0,5; 0,4; 0,3;. Стрелок взял одно из ружей и промахнулся. Найти вероятность того, что он стрелял из первого ружья?

26. В первой урне 3 белых и 5 черных шара, во второй 7 белых и 2 черных шара. Из второй урны переложили в первую один шар, а затем из первой урны вынули шар, который оказался черным. Найти вероятность того, что он ранее находился в первой урне?

27. Из десяти студентов, пришедших сдавать экзамен по математике, Иванов знает 5 билетов из 30, Петров – 25, Сидоров – 20, А остальные по 15. Преподаватель случайным образом выбирает первого студента из этой группы студентов. Этот студент сдал экзамен. Какова вероятность что он – Петров?

28. В группе спортсменов 20 лыжников, 5 велосипедистов, 4 легкоатлета. Вероятность выполнить квалификационную норму равна: для лыжника 0,7; для велосипедиста 0,8; для легкоатлета 0,9. Первый спортсмен выполнил норму. Какова вероятность, что он велосипедист?

29. Из продаваемого в магазине молока 40% поставляет первый молокозавод, второй – 60%. В среднем 9 из 1000 пакетов первого поставщика не выдерживают транспортировки, и разгерметизируется, а у второго – 1 из 250. Случайно выбранный пакет оказался разгерметизированным. Найти вероятность того, что он произведен на первом заводе?

30. Дальтониками являются 5% мужчин и 0,25% женщин. Наудачу выбранное лицо оказалось дальтоником. Какова вероятность того, что это был мужчина?

31 – 40.Вероятность того, что в локомотивном депо расход электроэнергии превысит суточную норму, равна р.

1)Какова вероятность того, что за n рабочих дней будет зафиксирован перерасход электроэнергии в течение m дней? Произвести вычисление: а) по формуле Бернулли; б) по формуле Пуассона; в) по локальной теореме Лапласа. Сделать вывод.

2) Найти вероятность того, что перерасхода энергии не будет хотя бы в течение (n -2) дней, используя: а) формулу Бернулли; б) интегральную теорему Лапласа.

31. p = 0,3; n = 6; m = 2.

32. p = 0,2; n = 5; m = 2.

33. p = 0,4; n = 5; m = 2.

34. p = 0,3; n = 5; m = 3.

35. p = 0,2; n = 6; m = 2.

36. p = 0,7; n = 5; m = 2.

37. p = 0,5; n = 6; m = 3.

38. p = 0,6; n = 6; m = 2.

39. p = 0,4; n = 6; m = 3.

40. p = 0,6; n = 5; m = 3.

 

41. Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания в нее первым стрелком равна 0,4; вторым 0,6; третьим 0,2. Составить закон распределения случайной величины Х - числа попаданий в мишень. Построить функцию распределения, найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины Х.

42. В урне имеются 4 шара с номерами от 1 до 4. Случайным образом вынимают 2 шара. Случайная величина – сумма номеров вынутых шаров. Составить закон распределения, построить функцию распределения случайной величины . Найти .

43. Вероятность выигрыша на один лотерейный билет равна р = 0,3. Случайная величина – количество выигрышей из трех лотерейных билетов. Составить закон распределения. Построить функцию распределения случайной величины . Найти .

44. На некоторой остановке автобус останавливается только по требованию. Вероятность остановки равна 0,3. За смену автобус проходит мимо этой остановки 4 раза. Составить закон распределения случайной величины , равной числу остановок за смену, построить функцию распределения случайной величины , найти .

45. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, извлекается 3 шара. Случайная величина – число белых шаров в выборке. Составить закон распределения, построить функцию распределения случайной величины , найти .

46. Трижды подбрасывается монета. Случайная величина – число выпавших гербов. Составить закон распределения этой случайной величины, построить функцию распределения случайной величины Х, найти .

47. Два представителя одной команды участвуют в соревнованиях. Один из них попадает в финал за 1 – 3 места, причем вероятность занять первое место 0,2; второе – 0,3. Второй участник команды попадает в утешительный финал за 4 – 6 места, где его вероятность быть четвертым и пятым одинакова, и равна 0,4. Составить закон распределения случайной величины – суммы мест, занятыми представителями данной команды; построить функцию распределения случайной величины , найти .

48. Вероятность рождения мальчика р = 0,5. Составить закон распределения случайной величины – числа мальчиков в семье из 4-х детей, построить функцию распределения случайной величины , найти .

49. Подбрасывание колец на колышек производится до первого попадания либо до полного израсходования всех трех имеющихся колец. Вероятность попадания 0,7. Случайная величина — число брошенных колец. Составить закон распределения, построить функцию распределения случайной величины , найти . 

50. Трижды подбрасывается монета. Случайная величина - число выпавших гербов. Составить закон распределения данной случайной величины. Найти .

51 – 55. Задана непрерывная случайная величина X своей функцией распределения

Требуется:

1)найти плотность распределения ;

2)определить коэффициент A;

3)схематично построить график функций ;

4)вычислить математическое ожидание и дисперсию;

5)определить вероятность того, что X примет значение из интервала .

 

51.

52.

53.

54.

55.

 

56 – 60. Задана непрерывная случайная величина X своей плотностью распределения вероятностей ƒ (x). Требуется:

1) определить коэффициент A;

2) найти функцию распределения F (x);

3) схематично построить график функций ƒ (x) и F (x);

4) вычислить математическое ожидание и дисперсию;

5) определить вероятность того, что X примет значение из интервала .

 

56.

57.

58.

59.

60.

61 – 70. Нормально распределенная случайная величина Х задано своими параметрами а (математическое ожидание) и (среднее квадратическое отклонение). Требуется: а) записать выражение для функции распределения, схематически изобразить ее график; б) определить вероятность того, что Х примет значение из интервала ; в) определить вероятность того, что Х отклониться (по модулю) от а не более чем на .

 

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

Математическая статистика

Дана двумерная выборка дискретных случайных величин и . Требуется:

1. Построить вариационные ряды для величин и .

2. Используя вариационные ряды, составить интегральные ряды распределения величин и . Длины интервалов и найдите по формуле Стерджеса.

3. Построить гистограммы относительных интервальных частот величин и . На основе гистограмм построить графики эмпирических функций плотностей вероятностей величин и .

4. Найти моду и медиану для интервальных распределений и .

5. Используя данные вариационных рядов, найдите статистические средние значения, дисперсии и средние квадратические отклонения и . Используя середины интервалов и частоты интервалов, найти выборочные средние, выборочные дисперсии и выборочные средние квадратические отклонения и . Сделать сравнение вычисленных величин.

6. Найти доверительные интервалы для оценок математического ожидания и дисперсии величин и в предположении о нормальном распределении с доверительной вероятностью .

7. Считая средние интервальные значения и распределенными по нормальному закону распределения, вычислить для каждого интервала теоретические относительные частоты для и . По найденным частотам построить на одном рисунке с гистограммой графики теоретических функций плотностей вероятностей случайных величин и .

8. В случае качественного совпадения графиков эмпирических и теоретических функций плотностей вероятностей проверить гипотезу о нормальном распределении случайных величин и с помощью критерии Пирсона при уровне значимости .

9. Используя интервальные ряды распределения, составить корреляционную таблицу.

10. Найти выборочный коэффициент корреляции в предположении линейной зависимости между и .

11. Найти выборочные уравнения прямой линии регрессии на и прямой линии регрессии на . Построить их на корреляционном поле.

 

Вариант 1.

X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y