Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2018-01-07 | 156 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Их числовые характеристики
Биномиальное распределение
СВ Х распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле Бернулли:
, (5.1
где 0 < p < 1, q=1 - p, k=0, 1, 2, …, n.
Такая СВ выражает число появлений события А в п независимых испытаниях, проводимых в одинаковых условиях.
Ряд распределения имеет вид: | ||||||
хi=k | … | i | n | |||
P(X=k) |
А числовые характеристики равны:
D[X]=npq.
Пример Три конкурирующие фирмы работают независимо друг от друга. Вероятность обанкротиться для каждой из них равна 0.1. Составить закон распределения СВ Х – числа обанкротившихся фирм. Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
4Дискретная СВ X - число обанкротившихся фирм имеет следующие возможные значения: x 1=0 (ни одна фирма не обанкротилась), x 2=1 (обанкротилась одна фирма), x 3=2 (две обанкротились) и x 4=3(обанкротились все три). Банкротства фирм независимы друг от друга, поэтому применима формула Бернулли (n =3, k =0, 1, 2, 3; p =0,1, q =1 ‑ 0,1= 0,9), следовательно,
P(X= 0 ) = P 3 ( 0 ) = q 3=0,93=0,729; P(X =1 ) = P 3 ( 1 ) = pq 2=3´0,1´0,9=0,243;
P(X= 2 )=P 3 ( 2 ) = p2q=3´(0,1)2´(0,9)=0,027; P(X =3 ) = P 3 ( 3 )=p3= 0,13=0,001.
Контроль: 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
` Закон распределения Х имеет вид:
хi = k | ||||
P(X = k) | 0,729 | 0,243 | 0,027 | 0,001 |
M[X] = ; D[X]= . 3
Геометрическое гипегеометрическое распределения.
Дискретная СВ Х подчинена геометрическому распределению, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, асоответствующие вероятности можно вычислить по формулам:
где 0 <p <1, q=1 - р.
xi | … | k | … | |||
pi | p | pq | pq 2 | … | pqk | … |
Ряд распределения Х имеет вид:
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
|
D[X] .
3. Гипергеометрическое распределения. СВ Хподчинена гипергеометрическому распределению с параметрами a, b, n, если ее возможные значения 0, 1, 2, …, k, …, а, а соответствующие вероятности вычисляются по формулам:
, .
(Если в урне а белых и b черных шаров и из нее вынимают n шаров, то СВ Х ={число белых шаров среди вынутых} подчиняется гипер-геометрическому закону).
Примечание. В приведенной формуле полагают , если .
Математическое ожидание и дисперсия гипергеометричекого распределения: ,
D .
Распределение Пуассона
СВ Х распределена по закону Пуассона, если онапринимает целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …, k, …, вероятности которых можно вычислить по формулам:
,
где k – число появлений событияАв n независимыхиспытаниях (), ()‑ параметр распределения, который равен среднему числу появления события А в n испытаниях. Если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна р, то .
Распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала (порядка 1/ n).
Ряд распределения СВ Х, распределенной по закону Пуассона, имеет вид:
х | … | n | … | |||
рk | … | … |
Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
, D .
Пример. На телефонную станцию в течение часа поступают в среднем 30 вызовов. Найти вероятность того, что в течение минуты поступает не более двух вызовов.
4Математическое ожидание числа вызовов за минуту равно . Вероятность того, что в течение данной минуты будет получено не более двух вызовов, равна сумме вероятностей того, что в течение данной минуты будет либо 0, либо 1, либо 2 вызова. Поэтому искомая вероятность:
P (k£2) = p(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= = + + = (1+1/2+ )»0,98. 3
Равномерное распределение
СВ Х подчинена равномерному закону распределения, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
.
График плотности равномерного распределения f(x) изображен на рис.5.1.
|
Интегральная функция распределения F (x) равна: ,
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратичное отклонение соответственно равны:
; D ; .
Вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется: .
Показательное распределение
Непрерывная СВ Х распределена по показательному (экспоненциальному) закону, если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
,
где l - параметр распределения.
Кривая плотности распределения f (x)изображена на рис.5.3. Интегральная функция распределения равна
,
ее график показан на рис 5.4.
M[X]=1/l; D[X]=1/l2; sх=1/l;
а вероятность попадания Х в заданный интервал значений определяется следующим образом: .
Пример. СВ Т —время безотказной работы телевизора - имеет показательное распределение. Определить вероятность того, что время безотказной работы телевизора будет не меньше 600 часов, если среднее время работы его 400 часов.
4 По условию задачи математическое ожидание СВ Т равно 400 часов. Искомая вероятность
P(T ³ 600 )= 1- P(T< 600 ) = 1- F (600)=1-(1- e- 600/400 )= e -1,5 » 0,2231. 3
Нормальное распределение
СВ Х подчинена нормальному закону распределения,если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:
,
где a ‑ математическое ожидание, ‑ среднее квадратичное отклонениеХ.
Интегральная функция нормального распределения имеет вид
;
где - функция Лапласа, или интеграл вероятностей.
Основные свойства функции Лапласа:
1) F( 0 ) = 0;
2) (нечетная функция);
3) F (¥)=0,5
Таблица значений функции F(х) для приведена в приложении, поскольку она является нечетной, то для отрицательных значений х пользуются теми же таблицами, что и для положительных.
Вероятность попадания Х в заданный интервал значений :
,
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения нормальной СВ Х от ее математического ожидания меньше положительного числа d, определяется выражением:
.
В частности, при а =0, P(êХ ê<d) =2F(d/s).
Если в равенстве 5.17. взять , получим так называемое «правило трёх сигм», которое является одним из необходимых условий того, что СВ имеет нормальный закон распределения. В самом деле,
|
т.е. отклонение нормальной СВ от своего математического ожидания а на величину, равную является событием практически достоверным.
Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:
аs=0, еk=0, Mo=a, Me=a, где a=M[X].
График плотности вероятности нормального распределения (рис.5) называют нормальной кривой (кривой Гаусса).
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!