Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Дисциплины:
2017-12-21 | 214 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Теорема Пуассона (асимптотическая формула для случая малых значений р)
Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и равна р, причем при так, что , где – среднее число появления события А в n испытаниях, , то вероятность Pn (m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению (или приближенно равна):
Pn (m) = .
Замечания.
1. Часто формула Пуассона записывается в виде равенства, но надо помнить при этом, что оно верно при :
Pn (m) = , при этом .
2. Формулой пользуются при больших n и малых р. Например, при n > 100, .
3. Теорема имеет место и в том случае, когда вероятность события А в каждом испытании равна нулю. В этом случае = 0.
4. Существуют таблицы значений данной вероятности (стр. 410,411 в задачнике Ефимова – Демидовича).
Пример.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,001. Найти вероятность попадания в цель двумя и более пулями, если число выстрелов равно 5000.
Решение.
Считаем каждый выстрел за испытание и попадание в цель за событие. Количество испытаний n = 5000 (велико), р = 0,001 (мало). По формуле Бернулли считать сложно. Поэтому применим формулу Пуассона.
Найдем среднее число попаданий: . Найдем заданную вероятность:
(перейдем к противоположному событию: m < 2) = .
По точной формуле (формуле Бернулли) , т.е. ошибка невелика.
2. Локальная предельная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая больших значений n и m)
Если вероятность наступления некоторого события А в n независимых испытаниях постоянна и равна р, (0 < p < 1), то вероятность Pn (m) того, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, удовлетворяет при соотношению (или приближенно равна):
|
Pn (m) = ,
где , .
Замечания.
1. Часто формула Пуассона записывается в виде равенства, но надо помнить при этом, что оно верно при :
Pn (m) = .
2. Формулой пользуются при больших n и m. Например, при n > 100, .
3. Из того, что следует, что . Это означает, что n и m должны отличаться друг от друга не очень сильно. Например, для случая m = 0, теорема дает плохое приближение.
4. Существуют таблицы значений функции f (x) для положительных значений x (стр. 408 в задачнике Ефимова – Демидовича). Для отрицательных значений x используется та же таблица, так как f (x) – четная функция: f (– x) = f (x). Функцию f (x) называют плотностью нормального распределения.
Пример.
Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение.
Количество испытаний n = 243, количество успехов m = 70, вероятность успеха р = 0,25, вероятность неудачи q = 1 – 0,25 = 0,75.
По формуле Бернулли считать сложно. Так как n и m велики, поэтому применим формулу Муавра - Лапласа.
Найдем сначала x и f (x):
, тогда .
Можно было не считать значение f (1,37) напрямую, а обратиться к таблице в учебнике.
Подставим найденное значение f (1,37) в формулу:
P 243(70) = .
3. Предельная интегральная теорема Муавра - Лапласа (асимптотическая формула для случая, когда число успехов m лежит в некоторых пределах)
Теорема 1. Если m – число наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность этого события равна р (0 < p < 1), то равномерно относительно a и b () при имеет место соотношение:
.
В некоторых источниках или .
Ранее вывели, что . Численное значение нашего интеграла можно найти с помощью таблиц (стр. 406 в задачнике Ефимова – Демидовича) для функции Лапласа Ф (x):
, где Ф (– x) = 1 – Ф (x). Для тех значений x, которых нет в таблице, т.е для , Ф (x) = 1.
Либо, функция Лапласа может быть в виде: , где Ф (– x) = – Ф (x), для тех значений x, которых нет в таблице, т.е. для , Ф (x) = .
|
Теорема 2. (Теорема Муавра-Лапласа) Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < p < 1), событие А наступит не менее m 1раза и не более m 2раз приближенно равна:
,
где Ф (x) – функция Лапласа, значения , .
|
|
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!