Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-21 | 240 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В)= Р (А)+ Р (В).
Доказательство.
Докажем теорему для схемы случаев. Пусть всевозможные исходы опята сводятся к совокупности случаев, которые можно наглядно изобразить в виде n точек, из них m случаев благоприятствуют событию А, и k случаев благоприятствуют событию В. Тогда по определению вероятности , , так как А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны А и В вместе. Следовательно, событию (А + В) благоприятны (m + k) случаев и . То есть + , что и треб. доказать.
Теорема 1/ ( Обобщенная теорема сложения несовместных событий ) Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Доказательство (методом математической индукции).
Предположим, что теорема справедлива для (n -1) несовместного события: А 1, А 2,…, А n-1, т.е. справедливо равенство: Р (А 1+ А 2+…+ Аn -1)= Р (А 1)+ Р (А 1) +…+ Р (Аn -1). Докажем, что теорема будет справедлива для n несовместных событий.
Обозначим А 1+ А 2+…+ Аn -1 =С.
Имеем Р (А 1+ А 2+…+ А n-1+ Аn) = Р (С + Аn) = (по теореме 1) = Р (С)+ Р (Аn) = (а для (n -1) несовместного события теорема доказана) = Р (А 1+ А 2+…+ Аn -1+ Аn)= Р (А 1)+ Р (А 1) +…+ Р (Аn -1)+ Р (Аn).
(что и треб. доказать)
Следствие 1. Если события А 1, А 2,…, А n-1, Аn образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: .
Доказательство.
Т.к. события А 1, А 2,…, А n-1, Аn образуют полную группу несовместных событий, то, по определению, появление хотя бы одного из них – достоверное событие:
= Р (А 1+ А 2+…+ Аn -1+ Аn) = 1.
Т.к. события несовместные, то к ним применима обобщенная теорема сложения:
Р (А 1+ А 2+…+ Аn -1+ Аn)= Р (А 1)+ Р (А 2) +…+ Р (Аn -1)+ Р (Аn) = =1, (что и треб. доказать).
|
Следствие 2. С умма вероятностей противоположных событий равна единице:
Доказательство.
События – противоположные, т.е. по определению образуют полную группу несовместных событий, тогда по следствию 1, .
Замечание. Следствие 2 – частный случай следствия 1. на практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события, чем прямого.
В формулировке таких задач встречаются слова «хотя бы», «не менее», «по крайней мере» и др.
Пример. Из колоды карт (36) наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
Решение.
1 способ (по теореме ).
Событие А = {из 3 карт окажется хотя бы один туз}.
Хотя бы один – это либо один, либо два, либо три, т.е. событие А может быть представлено в виде суммы трех событий: А 1 = {из 3 карт окажется один туз}, А 2 = {из 3 карт окажется два туза}, А 3 = {из 3 карт окажется три туза}.
А = А 1+ А 2+ А 3.
Т.к. события несовместны, то по теореме : Р (А) = Р (А 1+ А 2+ А 3)= Р (А 1)+ Р (А 2) + Р (А 3).
Найдем отдельно вероятности событий.
, , .
Р (А) + 0,0269 + 0,0006 = 0,3053.
2 способ (по следствию 2).
Событие = {из 3 вынутых карт не окажется ни одного туза}.
.
.
Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения (совместного осуществления): Р (А + В)= Р (А)+ Р (В) – Р (АВ)
Доказательство (геометрическое)
События отождествляют с множествами. Два раза накладываем «лепесток» друг на друга, поэтому и отнимаем его. (что и треб. доказать)
Теорема 2 / ( Обобщенная теорема сложения совместных событий).
Вероятность суммы n совместных событий равна , где суммы распространяются на различные значения индексов.
Для трех совместных событий теорема запишется в виде:
Р (А 1+ А 2+ А 3)= Р (А 1)+ Р (А 2) + Р (А 3) – Р (А 1 А 2) – Р (А 1 А 3) – Р (А 2 А 3) + Р (А 1 А 2 А 3)
Доказательство для трех событий (геометрическое):
События отождествляют с множествами (см. рис.).
|
(что и треб. доказать)
Замечание. Аналогичную формулу можно написать для произведения совместных событий:
Р (АВ) = Р (А)+ Р (В) – Р (А + В)
Р (А 1 А 2 А 3) = Р (А 1)+ Р (А 2) + Р (А 3) – Р (А 1+ А 2) – Р (А 1 + А 3) – Р (А 2 + А 3) + Р (А 1+ А 2+ А 3)
Пример. Для поражения самолета необходимо, чтобы были поражены оба двигателя (события А 1 и А 2) или была поражена кабина пилота (событие А 3). Требуется выразить вероятность поражения самолета (событие А) через вероятности событий А 1, А 2, А 3.
Решение.
А = А 1 А 2+ А 3. Т.к. события совместны, то по теореме 2 следует, что
Р (А) = Р (А 1 А 2)+ Р (А 3) – Р (А 1 А 2 А 3) = (по замечанию) = Р (А 1)+ Р (А 2) – Р (А 1+ А 2) – Р (А 1) – Р (А 2) – Р (А 3) + Р (А 1+ А 2) + Р (А 1 + А 3) + Р (А 2 + А 3) – Р (А 1+ А 2+ А 3) = – Р (А 3) + Р (А 1 + А 3) + Р (А 2 + А 3) – Р (А 1+ А 2+ А 3).
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!