Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2018-01-03 | 391 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Часто возникает необходимость определить не характеристики случайных величин или их законы распределения, а характеристики функции от случайных аргументов.
Любая функция от случайных аргументов является также случайной величиной, свойства которой определяются характеристиками случайных величин – такими как закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и другие начальные и центральные моменты.
Для определения числовых характеристик функции от случайных аргументов достаточно знать законы распределения этих случайных аргументов.
Пусть задана функция Y = φ(X), при этом Х – случайная величина с известным законом распределения. Пусть х является дискретной случайной величиной с заданным рядом распределения
Х | х 1 | х 2 | ... | х n |
Y | Р 1 | Р 2 | ... | Р n |
Рассмотрим ряд вида:
Y | φ(х 1) | φ(х 2) | ... | φ(х n) |
P i | P 1 | P 2 | ... | P n |
В общем случае этот ряд не является рядом распределения величины Y, так как в нём могут повторяться значения функции φ(х i).
Однако с помощью этого ряда можно определить числовые характеристики величины Y:
Если случайная величина непрерывна, то соответствующие характеристики определяются по формулам:
где f (x) – плотность распределения случайной величины Х.
Если функция зависит от совокупности аргументов, т.е. , где - система случайных величин, то математическое ожидание и дисперсия этой функции будет определяться по формулам:
где - плотность распределения системы.
В тех случаях, когда функция y является линейной функцией от случайных аргументов, то её числовые характеристики могут быть определены по числовым характеристикам случайных аргументов.
Числовые характеристики линейных функций от случайных аргументов определяются по теоремам о числовых характеристиках функции от случайных аргументов.
Билет
"Т1" Пусть У = С (с – const). Тогда математическое ожидание случайной величины У равняется этой константе, то есть справедлива формула:
"Т2" Дисперсия постоянной величины равняется 0:
"Т3" Пусть функция - это произведение неслучайной величины на случайную. Тогда математическое ожидание произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению неслучайной величины на математическое ожидание случайной величины, т.е.:
Доказательство: Рассмотрим случай дискретной случайной величины:
Согласно свойствам суммы, постоянную можно вынести за знак суммы:
"Т4" Дисперсия произведения неслучайной величины на случайную равняется произведению квадрата неслучайной величины на дисперсию случайной величины, т.е.:
Доказательство: Дисперсию произведения можно представить в виде:
Согласно теореме о математическом ожидании произведения неслучайной величины на случайную, данное выражение можно записать в виде:
"Т5" Пусть дана функция , равная сумме двух случайных величин. Тогда математическое ожидание суммы двух случайных величин равняется сумме их математических ожиданий, т.е.:
Доказательство: Рассмотрим систему двух дискретных случайных величин с известным законом распределения. Тогда математическое ожидание суммы двух случайных величин можно представить в виде:
,
где - это вероятность того, что сумма (X +Y) примет значения i и j.
На основании свойств суммы данное выражение можно записать в виде:
.
Если учесть, что , а , то математическое ожидание суммы можно заменить выражением вида:
, что и требовалось доказать.
"Т6" Пусть дана функция . Тогда дисперсия суммы двух случайных величин будет равна сумме дисперсий этих случайных величин плюс удвоенное произведение корелляционного момента между этими случайными величинами, т.е.:
Доказательство: Представим центрированную случайную величину в виде:
Согласно определению дисперсии случайной величины, дисперсию случайных величин можно представить как математическое ожидание квадрата центрированной случайной величины :
или:
а так как , а , то:
Представим правую часть данного выражения в виде:
На основании теоремы о математическом ожидании суммы случайных величин можно записать, что дисперсия суммы равняется:
, что и требовалось доказать.
"Т7" Математическое ожидание произведения двух случайных величин равняется произведению их математических ожиданий плюс корелляционный момент между ними.
Доказательство: Известно, что корелляционный момент между двумя случайными величинами равен математическому ожиданию произведения центрированных случайных величин:
Запишем данное выражение в виде:
На основании теоремы о математическом ожидании суммы:
Следовательно, и , что и требовалось доказать.
Очевидно, если случайные величины некореллированы, то математическое ожидание произведения этих случайных величин равняется произведению их математических ожиданий:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!