Свойства операции транспонирования матриц

1) (А + В)^Т = А ^Т + В ^Т;

2) (АВ)^Т = В ^Т А ^Т;

3) (kА)^Т = kА ^Т;

4) (А ^–1)^Т = (А ^Т)^–1,

где k – число, А и В – матрицы.

Матрица А называется симметрической, если А = А ^Т.

 

Ортогональной называется матрица А, для которой А ^Т = А ^–1.

 

Следующие три условия равносильны:

1) матрица А ортогональна;

2) матрица А ^–1 ортогональна;

3) столбцы матрицы А образуют ортонормированную систему векторов.

 

Ортогональная матрица может не иметь действительных собственных значений.

Симметрическая матрица всегда имеет действительные собственные значения, и все ее собственные значения – действительные числа. Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны.

Для каждой симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Q, что

Q ^–1 А Q – диагональная матрица. Построение этой ортогональной матрицы осуществляется следующим образом:

1) строим невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А к диагональному виду;

2) подвергаем столбцы найденной матрицы Т процессу ортогонализации Шмидта, а затем нормируем полученные векторы;

3) строим ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются координаты полученной в п.2 ортонормированной системы векторов.

 

Пример. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы симметрическую матрицу А = .

Р е ш е н и е. Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид:

| A – λE |= = = (5 – λ) = (5 – λ) = (5 – λ) (1 + λ) (5 – λ) (1 + λ) =(5 – λ) (1 + λ)² = 0.

Отсюда следует, что матрица А имеет два собственных значения: λ ₁ = –1, λ ₂ = 5.

Фундаментальная система решений системы уравнений (A + E) х = θ состоит из двух векторов

и , а система уравнений(A – 5 E) х = θ – из одного вектора (вычисления провести самостоятельно).

Матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, имеет вид Т = .

После ортогонализации и нормирования столбцов этой матрицы получим ортогональную матрицу

Q = .

Матрица, обратная к Q, совпадает с Q ^Т, т.е., Q ^–1 = .

Нетрудно проверить, что Q ^–1 А Q = .

Задания. Привести к диагональному виду с помощью ортогональной матрицы следующие матрицы:

1. А = , 2. А ₂ = , 3. А ₃ = , 4. А ₄ = .

 

2.4. Квадратичные формы

Переход от системы n неизвестных х ₁, х ₂, …, х_n к системе n неизвестных

у ₁, у ₂, …, у_n по формуле x = S y, где х = х (х ₁, х ₂, …, х_n), у = у (у ₁, у ₂, …, у_n), S – квадратная матрица порядка n, называется линейным преобразованием неизвестных. Если S – невырожденная матрица, то линейное преобразование неизвестных также называется невырожденным.

Квадратичной формой F (х ₁, х ₂, …, х_n) от n неизвестных х ₁, х ₂, …, х_n называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных

F (х) = . (1)

Квадратичную форму можно записать в виде F (х) = х А х, где х = (х ₁, х ₂, …, х_n),

А – симметрическая матрица порядка n, которая называется матрицей квадратичной формы F (х).

Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна из них переводится в другую посредством невырожденного линейного преобразования.

Если в квадратичной форме F (х) = х А х неизвестные подвергнуть линейному преобразованию x = S y, то получится квадратичная форма F (у) = у (S ^T А S) y с матрицей S ^T А S.

Каноническим видом данной квадратичной формы называется эквивалентная ей форма, не содержащая произведений неизвестных. Каждую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью линейного преобразования неизвестных

x = S y с ортогональной матрицей S. Столбцами матрицы S являются координаты некоторого ортонормированного базиса B ^н =(e ₁,..., e _n), в котором матрица A имеет диагональный вид D = S ^T А S. D − диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы.

Если F (х) > 0 (< 0) для всех х ≠ θ, то квадратичная форма F (х) называется положительно (отрицательно) определенной. Квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, если в каком-нибудь ее каноническом виде нет отрицательных (положительных) коэффициентов при квадратах неизвестных.

Критерием положительной определенности квадратичной формы является следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того, чтобы квадратичная форма А (х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее матрицы А были положительны, т.е. D_k > 0, k = 1, 2, …, n.

 

Следующие условия равносильны:

1) квадратичная форма F (х) = х А х положительно определена;

2) собственные значения матрицы А положительны;

3) угловые миноры матрицы А положительны.

 

Следующие условия равносильны:

1) квадратичная форма F (х) = х А х отрицательно определена;

2) собственные значения матрицы А отрицательны;

3) все угловые миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны, а все угловые миноры четного порядка положительны.

 

Пример 1. Написать матрицу квадратичной формы

F = 2 – 5 + 8 + 4 x ₁ x ₂ – 2 x ₁ x ₃ + 6 x ₂ x ₃.

 

Р е ш е н и е. Обозначим коэффициент при произведении x _i x _k = x _k x _i (i ≠ k) через

а_ik + а_ki, причем а_ik = а_ki. Член (а_ik + а_ki) x _i x _k запишем в виде а_ikx_ix_k + а_kix_kx_i. Тогда квадратичную форму F можно записать в виде

F = 2 + 2 x ₁ x ₂ – x ₁ x ₃ + 2 x ₂ x ₁ – 5 + 3 x ₂ x ₃ – x ₃ x ₁ + 3 x ₃ x ₂ + 8 .

Теперь матрица А квадратичной формы имеет вид: A = .