Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Интересное:
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-12-22 | 271 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Дифференцировать неявные функции можно по тем же правилам, что явные, однако, при этом необходимо договориться, что при этом задании является функцией, а что аргументом. Иначе сама постановка задачи теряет смысл. Возможны два пути решения задачи. Первый – от неявного задания функции перейти к явному, если это возможно. Второй – дифференцировать непосредственно заданную функцию.
Рассмотрим несколько примеров.
1) Видим, что уравнением задана неявная функция, а также, что при этом задании предлагается считать функцией, а аргументом и вычислять производную от функции по аргументу .
1 способ (он здесь возможен). Определяем из уравнения , тогда
.
2 способ. Дифференцируем обе части уравнения по аргументу :
. При раскрытии этого выражения следует учесть, что при дифференцировании по первое слагаемое левой части уравнения является простой функцией, а производную от второго слагаемого следует искать как производную сложной функции с промежуточным аргументом . Итак,
(напомним, что производную от степенной функции следует умножить на производную промежуточного аргумента ).
2) .
В этом случае первый способ дифференцирования неприменим, поскольку решить данное уравнение невозможно ни относительно , ни относительно .
Поскольку с выбором функции (это опять ) определились при постановке задачи, дифференцируем обе части равенства по аргументу :
.
Очевидно,
.
Приведем подобные члены, собрав все слагаемы с в левой части равенства.
.
Определяем отсюда производную
.
Примеры для самостоятельного решения
Определить .
7.10. , 7.11. , 7.12. ,
7.13. , 7.14. , 7.15. .
"Логарифмическое" дифференцирование
|
Имеется ввиду дифференцирование функции с предварительным ее логарифмированием. Такой прием используется, когда функция не поддается дифференцированию обычным способом. Рассмотрим функцию . Функция задана в явном виде, но таблицу производных здесь использовать невозможно, поскольку функция не является ни степенной, ни показательной. Предварительное логарифмирование обеих частей уравнения с использованием одного из свойств логарифмов решает проблему, переводя при этом явную функцию в неявную.
. Поскольку заранее известно, что функцией является , дифференцируем обе части полученного уравнения по
,
.
Есть еще один случай, когда удобно использовать "логарифмическое" дифференцирование. Задана функция
.
Непосредственное дифференцирование этой функции возможно, но приводит к очень громоздким вычислениям. Логарифмируем обе части уравнения, используя при этом одно из свойств логарифмов
,
.
Дифференцируем обе части уравнения по :
,
откуда следует
.
Окончательно
.
Замечание. Возможно логарифмирование по любому основанию, однако, формула производной натурального логарифма проще.
Докажем с помощью "логарифмического" дифференцирования не доказанную в общем виде формулу из таблицы производных. Дано , логарифмируем , откуда следует .
Примеры для самостоятельного решения
Вычислить
7.16. , 7.17. , 7.18. ,
7.19. ,
7.20. .
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!