Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Дисциплины:
2017-12-21 | 139 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Основные понятия
Уравнение вида
,
где - независимая переменная;
, - неизвестная функция и её производная,
называется дифференциальным уравнением первого порядка.
В случае, когда из уравнения можно выразить , оно имеет вид
.
Уравнение называется уравнением первого порядка, разрешённым относительно производной.
Например:
, , .
Решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция , которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение, заданное в неявном виде , называется интегралом дифференциального уравнения.
Например, функция является решением дифференциального уравнения , так как .
Теорема Коши (о существовании и единственности решения)
Если функция и её частная производная непрерывны в некоторой области плоскости , то в некоторой окрестности любой внутренней точки этой области существует единственное решение уравнения, удовлетворяющее условию при .
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Теорема Коши гарантирует, что при соблюдении определённых условий через каждую внутреннюю точку области проходит только одна интегральная кривая.
Условия, которые задают значение функции в точке , называют начальными условиями и записывают
или .
Задача нахождения решения, удовлетворяющего условию, называется задачей Коши.
Общим решением уравнения называется функция , удовлетворяющая этому уравнению при произвольном значении .
Частным решением называется функция , полученная при определённом значении .
Уравнение , неявно задающее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Уравнение , где - некоторое конкретное значение постоянной , называется частным интегралом.
|
Уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение вида
,
где и - непрерывные функции, называется уравнением с разделяющимися переменными.
Запишем производную в эквивалентной форме как отношение дифференциалов , тогда
.
Для отыскания решения этого уравнения необходимо разделить в нём переменные. Умножим обе части уравнения на и поделим на , полагая, что , имеем
.
Теперь левая часть уравнения содержит только переменную , а правая – только . Интегрируя обе части этого уравнения, получим
.
Таким образом, найден общий интеграл уравнения.
Пример 26. Найти частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях .
Решение
Перепишем данное уравнение в виде
.
Функция является решением уравнения. Остальные решения найдём, разделив переменные в уравнении и проинтегрировав его:
Так как ранее найденное решение можно получить из последнего соотношения, положив , то
- общее решение.
Из условия находим
.
Частное решение имеет вид
.
|
|
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!