Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Дисциплины:
2017-12-21 | 238 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Напомним, что полным приращением функции в точке
называют разность
Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:
где А, В – некоторые числа, независящие от , а α и β – бесконечно малые при
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то: 1) она непрерывна в этой точке; 2) она имеет в этой точке конечные производ- ные, причем .
Доказательство первого утверждения сразу следует из (1) и замечания к §3. Для доказательства второго утверждения положим в (1) тогда Разделив обе части равенства на и устремляя к нулю, получим:
т. е.
Аналогично доказывается и
В отличие от функций одной переменной (для которых дифференциру-емость равносильна существованию конечной производной), для функций нескольких переменных из существования частных производных не следует непрерывность и дифференцируемость. Это доказывается следующим примеров.
Пример. Рассмотрим функцию
Вычислим производную по в начале координат:
.
Аналогично В то же время эта функция не является непрерывной (а следовательно, является недифференцируемой) в начале координат, ибо ее предел в этой точке не существует (см. пример 2 §3).
Таким образом, функция имеет конечные производные в точке , но не является непрерывной в этой точке. Эта ситуация связана с тем, что существование частных производных в точке определяется поведением функции на прямых а непрерывность зависит от поведения функции во всей окрестности точки М 0.
Примем без доказательства теорему, устанавливающую достаточные усло-вия дифференцируемости.
Теорема 2. Если функция имеет частные производные в некото-рой окрестности точки и эти производные непрерывны в самой точке , то функция дифференцируема в точке .
|
Определение 2. Главная часть полного приращения дифференцируемой функции, линейная относительно приращений аргументов, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом :
Если договорится считать дифференциалами независимых переменных их приращения, то формула (2) примет вид:
Обозначим: это расстояние между точками и . Очевидно, что стремление к нулю равносильно одновременному стремлению к нулю приращений и . Формулу (1) можно теперь переписать в виде
Отсюда при малых и получим приближенную формулу
,
которая используется в приближенных вычислениях.
Замечание. С геометрической точки зрения, дифференцируемость функции в точке означает наличие касательной плоскости к графи-ку функции в точке (см. ниже §8).
Производные сложных функций
Приведем без доказательства ряд формул дифференцирования сложных функций. Все встречающиеся функции одной или нескольких переменных считаем дифференцируемыми.
1. Если то
2. Если , а то для сложной функции одной переменной z (u (x), v (x))имеем
или используя другие обозначения,
В частности, если а , то
В этом случае производную называют полной производной, в отличие от – частной производной.
3. Если , а и , то для сложной функции двух переменных имеем:
(3)
Замечание 1. Формулы (1), (2), (3) легко обобщаются на случай функций трех и более переменных.
Замечание 2. Формулы (1), (2), (3) необходимы в теории для получения других важных результатов. На практике в случае конкретных функций нетрудно исключить зависимость функции от промежуточных переменных. Например, если
а и , то как функция имеет вид
|
|
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!