Дифференцирование сложных функций

I. Пусть .

Тогда есть сложная функция независимой переменной t.

Пример 5.2.1. Найти , если , где .

▲ Сложная функция z зависит от одной переменной t через промежуточные переменные x и y, которые в свою очередь зависят от одной переменной t. Поэтому полная производная данной функции

.

Найдем , считая y постоянной (тогда )

.

Считая x постоянной, имеем

.

Найдем :

.

В соответствии с приведенной выше формулой

.

Подставив в полученное выражение вместо промежуточных переменных x и y соответственно , окончательно получим

. ▼

В частном случае, когда , и, следовательно, z является сложной функцией , . На основании предыдущей формулы, в которой роль t играет теперь x, получим

.

В данной формуле есть частная, или локальная, производная функции по переменной x.

А есть полная, или материальная производная функции по переменной x.

Пример 5.2.2. Найти , если .

▲ Считая y постоянной, находим

.

Полная производная данной функции z

.

Считая x (тогда ) постоянной, имеем

.

Найдем . В соответствии с формулой для полной производной данной функции имеем

.

Подставляя в полученное выражение , окончательно получим

. ▼

Пример 5.2.3. Найти , если , где .

▲ Функция z есть функция трех переменных . Однако x и y являются функциями одной переменной t. Поэтому формула полной производной функции z в данном случае имеет вид

.

Найдем частные производные функции по переменным .

Считая x и y постоянными (тогда ), находим

.

Считая t и y постоянными (тогда ), имеем

.

Считая t и x постоянными (тогда ), получим

.

Найдем :

.

Согласно приведенной выше формуле, имеем

.

В полученное выражение вместо переменных x и y необходимо подставить соответственно . ▼

II. Пусть .

Тогда есть сложная функция независимых переменных .

Если сложная функция задана формулами

то .

 

???

 

Правилодифференцирования сложной функции:

Частная производная сложной функции по одной из независимых переменных равна

Сумме произведений ее частных производных по промежуточным аргументам на частные производные этих аргументов по данной независимой переменной.

 

!!!

 

 

Пример 5.2.4. Найти частные производные функции , где .

▲ Частные производные сложной функции z, зависящей от двух промежуточных переменных x и y, которые в свою очередь зависят от независимых переменных, ξ и η находим по формулам

;

.

Получаем:

;

.

В соответствии с приведенными формулами имеем

,

.

Подставив в полученные выражения вместо переменных x и y соответственно

и ,

окончательно получим

,

. ▼

Дифференцирование неявных функций

Пример 5.3.1. Найти производную неявной функции , заданной уравнением

.

▲ Преобразуем данное уравнение к виду

и рассмотрим функцию

.

Тогда по формуле

.

Так как по условию , то можно упростить

. ▼