Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Особенности труда и отдыха в условиях низких температур: К работам при низких температурах на открытом воздухе и в не отапливаемых помещениях допускаются лица не моложе 18 лет, прошедшие...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Дисциплины:
2017-12-20 | 469 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
1. Равенство матриц. Две матрицы и называются равными, если они имеют одинаковый размер (m = p и n = q) и равны их соответствующие элементы, т.е.:
(7)
2. Сумма матриц. Суммой А+В двух матриц и одинакового размера mxn называется матрица того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е.:
, (8)
Формула (8) означает, что сложение матриц происходит поэлементно.
Например. Найти сумму двух матриц.
Для матриц справедливы сочетательный и переместительный законы сложения:
(сочетательный закон)
(переместительный закон)
3. Разность двух матриц определяется аналогично сумме:
(9)
Имеют место равенства:
4. Произведение матрицы на действительное число. Произведением матрицы на число k называется матрица того же размера, все элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы А на число k, т.е.:
(10)
Так же, как и сложение матриц, умножение матрицы на число происходит поэлементно.
Например. Умножить матрицу на число.
Умножение матрицы на число подчиняется правилам:
5. Произведение матриц. Произведением матрицы размера mxn на матрицу размера nxq называется матрица размера mxq, элементы которой определяются по формуле:
, I = 1,2,…,m; j = 1,2,…q. (11)
т.е. элемент равен сумме произведений элементов i – ой строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В.
Замечания:
1. Две матрицы и можно перемножить только в том случае, если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В, т.е. АВ можно вычислить, если n = p (ВА можно вычислить, если q = m). Другими словами говорят, что форма матриц А и В должна быть согласованной, а такие матрицы называют сцепленными.
2. Из сказанного выше следует, что, если существует АВ, то из этого не следует существования ВА, а, если ВА существует, то АВ ¹ВА.
|
3. Сложение и умножение матриц связаны дистрибутивными законами, т.е.
Пример 1. Вычислить произведения матриц.
a) Дано: , . Найти АВ и ВА.
Решение.
=
= =
Пример показывает, что АВ ¹ ВА, т.е. умножение матриц не обладает переместительным свойством.
b) Дано: , . Найти АЕ.
Решение.
Итак, АЕ = А, т.е. единичная матрица Е ведет себя как число 1.
c) Дано: , . Найти АВ и ВА.
Решение.
Произведение АВ не имеет смысла, т.к. n ¹ p, но ВА можно вычислить, т.к. q = m.
6. Транспонированная матрица. Если в данной матрице А размером mxn поменять местами строки и столбцы, то полученную матрицу размером nxm обозначают (или ) и называют транспонированной по отношению к данной. Или: матрица называется транспонированной к матрице А, если выполняется условие:
для всех i и j. (12)
Пример 2. Транспонировать матрицу: .
Решение.
Замечания:
– квадратная матрица называется симметричной, если = ;
– квадратная матрица называется кососимметричной, если = – ;
– любую матрицу А можно представить (единственным образом) в виде А = В + С, где В – симметричная, С – кососимметричная матрицы.
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
Понятие определителя
Понятие "определитель" впервые было введено Г.Лейбницем при решении систем линейных уравнений (1693г.). В 1750 г. метод определителей был вновь разработан Г.Крамером, затем дополнен А.Вандермондом (1772г.). Термин "определитель" в современном его значении ввел О.Коши (1815 г.), а обозначения – вертикальные линии – А.Кели.
Приложения определителей:
- математика (векторная алгебра, аналитическая геометрия, линейная алгебра…)
- электротехника (расчет электрических цепей…)
- физика.
Каждой квадратной матрице А порядка n можно однозначно поставить в соответствие число, которое называется определителем (детерминантом) матрицы А и обозначается:
(1)
По определению определитель n-го порядка матрицы А равен алгебраической сумме n! произведений, в каждое из которых входит только по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы А.
|
Вычисление определителей
Определители 2-го порядка
Определение. Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по формуле:
. (2)
Мнемоническое правило для вычисления определителей 2-го порядка: определитель равен произведению главных диагональных элементов минус произведение побочных диагональных элементов.
Приведенное правило можно проиллюстрировать рисунком:
– +
Пример 1.
1. Вычислить определитель: .
Решение:
2. Решить уравнение:
Решение:
Определители 3-го порядка
Определение. Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле:
(3)
Мнемонические правила для вычисления определителей 3-го порядка:
Правило треугольников
+ –
Правило Саррюса
– +
– – – + + +
Пример 2. Вычислить определитель третьего порядка .
Решение.
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!