Кинетический момент точки, механической системы и твердого тела. Теоремы о кинетическом моменте. Сохранение кинетического момента системы относительно центра и оси.

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки

Рассмотрим материальную точку M массой m, движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M₀ материальной точки относительно центра O:

Рисунок 3.1

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k₀) по времени:

Так как dr/dt=V, то векторное произведение V × m∙V (коллинеарных векторов V и m∙V) равно нулю. В то же время d(m∙V)/dt=F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

dk₀/dt = r×F, (3.3)

где r×F = M₀ (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O. Вектор k₀ ⊥плоскости (r, m×V), а вектор M₀(F) ⊥плоскости (r, F), окончательно имеем

dk₀/dt = M₀(F). (3.4)

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk_x/dt = M_x(F);

dk_y/dt = M_y(F);

dk_z/dt = M_z(F). (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1

Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M₀(F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k₀ = const, т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Рисунок 3.2

Из условия k₀ = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2

Пусть M_z(F) = 0, т.е. сила пересекает ось z или параллельна ей.

В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k_z = const, т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек. Выделим из этой системы некоторую точку M_j с массой m_j (рисунок 3.3). На выделенную точку в итоге будут действовать две силы: равнодействующая внешних сил и равнодействующая внутренних сил (F_j^e и F_jⁱ соответственно).

Для выделенной точки M_j, как для свободной точки, можем применить теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) (3.4):

dK_0j/dt = M₀(F_j^e) + M₀(F_jⁱ). (3.6)

Рисунок 3.3

Аналогичные уравнения запишем для всех точек системы (j=1,2,3,...,n) и сложим их почленно:

∑dK_0j / dt = ∑M₀(F_j^e) + ∑M₀(F_jⁱ). (3.7)

Рассмотрим каждую сумму в отдельности:

∑dK_0j / dt = d∑K_0j / dt = dK₀ / dt, (3.8)

где ∑K_0j = K₀ – главный момент количества движения (кинетический момент) механической системы относительно некоторого центра O;
∑M₀(F_j^e) = M₀^e – главный момент внешних сил механической системы;
M₀(F_jⁱ) = M₀^j = 0 – главный момент внутренних сил механической системы, который равен нулю (по свойству внутренних сил механической системы).

В итоге получаем

dK₀ / dt = M₀^e. (3.9)

Уравнение (3.9) выражает теорему об изменении главного момента количества движения (кинетического момента) механической системы: производная по времени от главного момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно некоторого неподвижного центра равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.9) на неподвижные оси декартовой системы координат, получаем

dK_x/dt = M_x^e;
dK_y/dt = M_y^e;
dK_z/dt = M_z^e. (3.10)

Уравнения (3.10) выражают собой теорему об изменении кинетического момента системы относительно координатных осей: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно какой-либо неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, действующих на эту систему, относительно той же оси.

Рассмотрим следствия из теорем (3.9) и (3.10).

Следствие 1

Если главный момент внешних сил системы относительно центра равен нулю (M₀^e), то, согласно (3.9), момент количества движения (кинетический момент) системы относительно того же центра остается постоянным по величине и направлению, т.е. M₀ = const.

Этот частный случай выражает закон сохранения момента количеств движения (кинетического момента) системы относительно центра.

Следствие 2

Если сумма моментов всех внешних сил системы относительно какой-либо оси равна нулю, например, M_x^e = ∑M_x(F_j^e) = 0, то из (3.10) следует, что K_x = const, т.е. момент количества движения (кинетический момент) механической системы относительно этой оси остается постоянным.

Из теорем об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно центра (3.9) и относительно оси (3.10), а также следствий из них следует, что внутренние силы не могут непосредственно изменить момент количеств движения (кинетический момент) изолированной механической системы.

Внутренние силы могут влиять на момент количества движения (кинетический момент) механической системы в том случае, если их действие приводит к возникновению внешних сил, т.е. косвенным образом через возникновение внешних сил.

Приведенные выше теоремы об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы (3.9) и (3.10) остаются справедливыми и по отношению к подвижным осям координат, имеющим свое начало в центре системы и движущимся поступательно вместе с центром масс по отношению к неподвижным осям координат.

21. Элементарная работа и мощность силы. Работа силы на конечном перемещении. Формулы для элементарной работы и мощности сил, приложенных к твердому телу.

Работа силы. Мощность.

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы.

Рис.1

 

При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы (рис.1) называется скалярная величина:

,

где - проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds- бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о ха­рактеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая , сообщающая точке касательное ускорение. Составляющая же или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном дви­жение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляю­щая влиять не будет, т.е., как говорят, сила «не будет про­изводить работу».

Замечая, что , получаем:

. (1)

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементар­ное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа dA=Fds.

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа dA=-Fds.

Если угол , т.е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Положительную силу F (α> 90°) называют движущей, а отрицательную (α> 90°) – силой сопротивления.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие по направлениям координатных осей (рис.2; сама сила на чертеже не показана).

Рис.2

 

Элементарное перемещение слагается из перемещений dx, dy, dz вдоль координатных осей, где x, y, z - координаты точки М. Тогда работу силы на перемещении ds можно вычислить как сумму работ её составляющих на перемещениях dx, dy, dz.

Но на перемещении dx совершает работу только составляющая , причем её работа равна F _xdx. Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично.

Окончательно находим: dA=F_xdx+F_ydy+F_zdz.

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении М ₀ М ₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

Следовательно, работа силы на любом перемещении М ₀ М ₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям пере­менных интегрирования в точках М ₀ и М ₁. Графически площадь под всей кривой М ₀ и М ₁ и будет искомой работой.

 

Рис.3

Если величина постоянна (, то и обозначая перемеще­ние М ₀ М ₁ через получим: .

Такой случай может иметь место, когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F = const), а точка, к ко­торой приложена сила, движется прямолинейно (рис.3). В этом случае и работа силы .

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 Н∙м). 1 Дж – работа, совершаемая силой 1 Н на 1 м пути.

Консервативные силы.

Силы, действующие на тело, могут быть консервативными и неконсервативными. Сила называется консервативной или потенциальной, если работа, совершаемая этой силой при перемещении материальной точки из одного положения в другое, не зависит от вида траектории (формы пути) и определяется только начальным и конечным положениями тела (рис.3.1): А _1В2 = А _1С2 = А ₁₂.

Рис.3.1

 

В случае, если тело движется в обратном направлении А ₁₂= – А ₂₁, т.е. изменение направления движения по траектории на противоположное вызывает изменение знака работы. Следовательно, при движении материальной точки по замкнутой траектории работа консервативной силы равна нулю (например, поднятие и опускание груза):

Консервативными силами являются силы гравитационного взаимодействия, силы упругости, электростатические силы. Силы, не удовлетворяющие условию (1), называются неконсервативными. К неконсервативным силам относят силы трения и сопротивления. Поле, в котором действуют консервативные силы, называется потенциальным.

 

Мощность.

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность

где t - время, в течение которого произведена работа A. В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной состав­ляющей силы на скорость движения.

Единицей измерения мощности в системе СИ является ватт (1 вт= 1 дж/сек). В технике за единицу мощности часто принимается 1 лошадиная сила, равная 75 кГм/сек или 736 вт.

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт-час (1 квт-ч = 3,6∙10⁶ дж ≈367100 кГм).

Из равенства видно, что у двигателя, имеющего дан­ную мощность W, сила тяги будет тем больше, чем меньше ско­рость движения V. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяю­щие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и раз­вивать большую силу тяги.

Примеры вычисления работы.

Рассмотренные ниже при­меры дают результаты, которыми можно непосредственно пользо­ваться при решении задач.

1) Работа силы тяжести. Пусть точка М, на которую действует сила тяжести , перемещается из положения М_­0 (x­₀, у₀, z₀) в положение M₁ (х₁, у₁, z₁). Выберем оси координат так, чтобы ось Oz была направлена вертикально вверх (рис.4).

Рис.4

Тогда Р _x=0, Р _y=0, P _z= - Р. Подставляя эти значения и учитывая перемен­ную интегрирования z:

Если точка M ₀ выше М ₁, то , где h -величина вер­тикального перемещения точки;

Если же точка M ₀ ниже точки M ₁то .

Окончательно получаем: .

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со зна­ком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной. Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения.

Силы, обла­дающие таким свойством, назы­ваются потенциальными.

2) Работа силы упругости. Рассмотрим груз М, лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис.5,а). Отметим на плоскости точкой О поло­жение, занимаемое концом пружины, когда она не напряже­на ( - длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения О, удлинив пружину до величины l, то на груз будет действовать сила упругости пружины F, направленная к точке О.

Рис.5

 

По закону Гука величина этой силы пропорциональна удлинению пружины . Так как в нашем случае , то по модулю

Коэффициент с называется коэффициентом жесткости пружины. В технике обычно измеряют величину с в H/см, полагая коэф­фициент с численно равным силе, которую надо приложить к пру­жине, чтобы растянуть ее на 1 см.

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения в положение Так как в данном случае F_x=-F=-cx, F_y=F_z=0, то получим:

(Этот же результат можно получить по графику зависимости F от х (рис.20, б), вычисляя площадь заштрихованной на чертеже тра­пеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле представ­ляет собою начальное удлинение пружины , а конечное удлинение пружины . Следовательно,

т.е. работа силы упругости равна половине произведения коэффи­циента жесткости на разность квадратов начального и конеч­ного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда , т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрица­тельной, когда , т.е. конец пружины удаляется от равновесия положения. Можно доказать, что формула ос­тается справедливой и в случае, когда пе­ремещение точки М не является прямо­линейным.

Таким образом, оказывается, что работа силы F зависит только от значе­ний и и не зависит от вида траектории точки М. Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

 

Рис.6

3) Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис.6) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю fN, где f - коэффициент трения, а -нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, F_тр=-fN и по формуле

Если величина силы трения постоянна, то , где s -длина дуги кривой М ₀ М ₁ по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Величина этой работы зависит от длины дуги М ₀ М ₁. Следовательно, сила трения является силой непотенциальной.

4) Работа силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси.

В этом случае (рис.7) точка приложения силы движется по окружности радиуса r. Элементарная работа, по (1), , где .

Рис.7

 

Поэтому .

Но .

Это нетрудно установить, разложив силу на три составляющие (рис. 7). (Моменты сил и равны нулю). Значит,

(2)

В частности, если момент силы относительно оси , работа силы при повороте тела на угол равна

. (3)

Знак работы определяется знаками момента силы и угла поворота. Если они одинаковы, работа положительная.

Из формулы (3) следует и правило определения работы пары сил. Если пара с моментом m расположена в плоскости перпендикулярной оси вращения тела, то ее работа при повороте тела на угол

. (4)

Если же пара сил действует в плоскости не перпендикулярной оси вращения, то ее надо заменить двумя парами. Одну расположить в плоскости перпендикулярной оси, другую – в плоскости параллельной оси. Моменты их определяются разложением вектора момента по соответствующим направлениям: . Конечно работу будет совершать только первая пара с моментом , где – угол между вектором и осью вращения z,

. (5)

Кинетическая энергия точки, механической системы и твердого тела. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной и интегральной формах. Теорема о производной по времени кинетической энергии системы (теорема мощностей).