Произольные сист. линейных ур-й. Основн. понятия и определ. метод Гаусса. Решение и иследов. сист. лин. ур-й. Теор. Кронекера- Капели.

Слу имеет вид:

а11х1+а12х2+…а1nxn=в1

а21х1+а22х2+…а2nxn=в2

………………………….

аmx1+am2x…amnxn=вn

aij i=1,2… m; j=1,2…n – коэффициенты.

вi (i=1,2,…m) – свободные числа

решение слу наз. упорядочен. совокупность n чисел, кот. при подстоновке в систему (I) соответсвенно х1=с1, х2=с2…. хn=сn, обращает каждое уравнение системы в верное равенство.

слу наз. совместной, если она имеет хотя бы одно решение; несовместной, если она не имеет ни одного решения.

слу наз.определенной если она имеет одно единствен. решение. слу наз. неопределенной, если она имеет более одного решения.

Метод гаусса. основан на приведении исходн. сист. ур-й эквивалент. сист. треугольного вида с помощью элементарных преобразований.

(матрица слу, то что вверху)

-умножим 1-е ур-е на (-а21/а11) и прибавить его ко втормому, во второй строке вместо 1-го слагаемого получим 0.

(тоже самое с третьим)

можно привести к 0 начиная со 2.

аналог. действия можно сделать исключить 2-е слагаемое из всех ур-й начиная с 3-го.

привидение сист. к треуг. виду называется примым ходом метода гаусса.

после того как система приведена в треуг. виду можно последовательно начиная с последнего найти все неизвестные.

Кранекера-Капелли.

Для того чтобы система, линейных ур-ний была совместной, необходимо и достаточно, что бы ранг матрицы сист. был равен рангу расширенной матрицы

 

Геометрич. вектор.

вектор – это направленный отрезок, который может перемещаться || самому себе; изображается →направленный от начала вектора к конце вектора.

длиной (модулем вектора) наз. число равное длине отрезка изабраж. вектора

2 вектора наз. равными если они соноправлены и имеют одну длину.

если начало и конец совпадают то этот вектор наз. нулевым.

всякий нулевой вектор имеет нулевую длину

только нулевой вектор имеет нулевую длину

направление нулевого вектора считается произвольным.

векторы наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на || прямых.

векторы наз. комплонарными если они лежат в одной плоскости или в || плоскостях.

2 вектора наз. ортогональными если угол между ними 90.

Линейные операции: 1. произведением вектора ā на число λ наз. новый вектор длина кот. |λR|=|λ||ā| и направление которого совпадает с направлением ā, если λ положительная и противоположна, если λ отрицательа |λR|=|λ||ā|

при умножении любого вектора на 0→получается нулевой вектор. 2. суммой 2-х векторов наз 3 вектор начало которого совпадает с началом 1-го вектора а конец с концом 2-го вектора при условии, что нач. 2-го вектора совмещено с концом 1-го. С=А+В

разностью 2-х векторов наз. сумма первого и 2-го умноженного на (-1) с=А-В

1. коммутативность а+в=В+А

2. дистубутивность уножения на число относительно сложения. λ(а+в)=λа+λв

3. дистрибутивность числовых сомножителей (λ+в)а = λа+ва

5. а-в= -(в-а)

 

13. Коллинеарные векторы.

векторы наз. коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на || прямых.

необходимое и достаточ. условия коллиниарности 2-х векторов (2 вектора коллониарны тогда и только тогда, когда векторное произведение равно 0.

достаточно задать 2 вектора а остальные выразить

 

14 комплонарные вектора.

векторы наз. комплонарными если они лежат в одной плоскости или в || плоскостях

необходимое и достаточ. условие комплонарн 3-х векторов.

3 вектора компл. тогда и только тогад, когда их смешанное произведение равно 0.

достаточно задать 2 вектора а остальные выразить

Теорема о расположении вектора по 3 некомпланарным векторам. Теорема: всякий произвол в-ор d можно разложить по 3-ём некомплан векторам a,b,c.

Док-во: Пусть a,b,c -3 некомплан век-а, d – произвольный век-р. Возьмем в пространстве точку О. Отложим от нее ОА=а, ОВ=b,ОС=с, точки А,В,С не леж в одной плоскости.(С не принадл ОАВ). Пусть век-р d также не принадл ОАВ, тогда из В провед прям OD. Затем прям DD1 || OC, затем D1D2||OB, затем соед O и D2. Таким образом OD=OD2+D2D1+D1D(по построению).Т.к. OD2 коллин ОА, D2D1 коллин ОВ, D1D коллин ОС, отсюда следует что, OD2=xa, D2D1=yb, D1D=zc.

Отсюда OD=xa+yb+zc(*) ч.т.д.Единственность: предпол, что сущ x1,y1,z1 такие, что OD=x1a+y1b+z1c(**). Приравняем (*) и (**)è(x-x1)a+(y-y1)b+(z-z1)c=0 (0 это нулевой вектор). Предположим, что x1не=x, т.е. x-x1не=0, тогда а= -((y-y1)b/(x-x1) - (z-z1)c/(x-x1)), отсюда следует, что a,b,c -комплан, а это противор условию.Аналогично доказывается и y1 и z1.Следовательно x=x1, y=y1,z=z1.