Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-12-13 | 751 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция называется непрерывной на интервале , если она непрерывна в каждой точке . Если же, кроме того, функция непрерывна в точке а справа, а в точке – слева, то функция называется непрерывной на отрезке .
Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке , если она непрерывна во всех внутренних точках , за исключением конечного числа точек, в которых она имеет разрывы первого рода, а в точках а и имеет соответствующие односторонние пределы.
Монотонность и непрерывность. Будем считать, что функция задана на отрезке .
Утверждение 1. Монотонная на отрезке функция может иметь точки разрыва только первого рода.
Согласно этому утверждению, множество значений монотонной функции будет отрезком в том и только в том случае, если – непрерывная функция на отрезке .
Утверждение 2 (об устойчивости знака непрерывной функции). Пусть функция непрерывна в точке и . Тогда существует -окрестность точки , такая, что в этой окрестности функция имеет тот же знак, что и .
Геометрический смысл этого утверждения состоит в том, что, если функция непрерывна в точке и отлична в ней от нуля, то некоторая часть графика этой функции, проходящая через точку , не пересекает ось (рис. 1).
Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах отрезка имеет значения разных знаков. Тогда существует точка , в которой .
Геометрический смысл этой теоремы также очевиден. Поскольку функция непрерывна на отрезке, то ее график состоит из одного «сплошного» куска. Эта кривая соединяет точки , , одна из которых лежит ниже оси Ox, вторая – выше оси Ox. Следовательно, существует точка с на оси Ox, в которой график пересекает ось Ox (рис. 2).
|
Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши). Пусть функция непрерывна на отрезке , причем . Тогда, если С – любое число, лежащее строго между и , то существует точка , такая, что .
Другими словами, непрерывная на отрезке функция принимает любое свое промежуточное значение.
Геометрический смысл этой теоремы показан на рис. 3.
Теорема 3 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена.
Таким образом, если функция непрерывна на отрезке , то существует число такое, что
Заметим, что если в теореме 3 вместо отрезка рассматривать интервал или какой-либо полуинтервал, то функция может быть и неограниченной, т. е. в этом случае утверждение об ограниченности несправедливо. Например, функция непрерывна на полуинтервале , но не ограничена на нем.
Теорема 4 (вторая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках отрезка своих точных верхней и нижней границ, т.е. существуют точки и , принадлежащие , для которых имеет место
, .
Таким образом, для всех .
Поскольку непрерывная на отрезке функция достигает в некоторых точках своих точных верхней и нижней границ, то можно называть точную верхнюю границу максимальным значением функции, а точную нижнюю границу – ее минимальным значением на отрезке .
41. Обратная функция и её непрерывность.
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Имеет место следующая
Теорема 1. Если функция непрерывна и монотонна на отрезке , то на множестве ее значений существует монотонная, непрерывная обратная функция.
Функции , обратные функциям , в силу названного свойства непрерывны при всех значениях , при которых эти функции определены.
Пример 1. Функция непрерывна и монотонна на отрезке . Образом этого отрезка, посредством функции , является отрезок . На основании приведенного свойства существует определенная на отрезке , обратная к функции , непрерывная возрастающая функция .
|
Для функции , рассматриваемой на всей действительной оси, не существует обратной функции, так как , , т.е. каждому соответствует множество значений , определяемых указанной формулой. □
|
|
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!