Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 267 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2, а также множество всевозможных фигур со свойствами, которые логически доказываются в рамках сформулированной аксиоматики. Эту модель будем обозначать e3 и называть трёхмерным евклидовым пространством.
В этом параграфе вначале будет построена арифметическая (координатная) модель трёхмерного евклидова пространства e3 по схеме Г. Вейля, а затем, по этой же схеме будет построена модель многомерного арифметического евклидова пространства. Эта схема называется обоснованием евклидовой геометрии по Вейлю (Герман Вейль, 1885-1955); она базируется на системе аксиом Вейля, называемой точечно-векторной, т.к. в ней неопределяемыми понятиями (объектами аксиоматики) являются точки и векторы. Точки и векторы называются основными геометрическими объектами в модели Вейля, вступающими в отношения, определяемыми тремя группами аксиом, образующими аксиоматику Г. Вейля. Вот эти три группы аксиом:
-группа аксиом векторного пространства;
- группа аксиом скалярного произведения;
-группа аксиом откладывания вектора.
Первые две группы аксиом нам уже известны. Для изложения третьей группы аксиом введем операцию откладывания вектора. Эта операция сопоставляет всяким двум точкам A,B Îe3 вектор и обозначается как отображение . Операцию можно представить как изображение направленного отрезка и определить следующими свойствами.
1. Для всякой фиксированной точки A0 Îe3 и произвольной точки B Îe3 отображение
(4.1)
является взаимно-однозначным отображением точек B Îe3 на множество векторов .
|
2.
.
3.
Рис. 4.1 |
Эти три аксиомы будем называть аксиомами откладывания вектора.
Точку в аксиоме 3 называют началом координат в евклидовом пространстве e3, а вектор – радиус-вектором точки в этом пространстве. Координатами точки M Îe3 называют координаты радиус-вектора (рис.4.1), где , , – направленные отрезки в e3, соответствующие базисным векторам , , векторного пространства при отображении (4.1) с . Таким образом, по построению операции откладывания вектора в e3, приходим к векторному равенству
. (4.2)
Это равенство, с учетом фиксированной точки 0Îe3, представляет взаимно-однозначное соответствие между точками M Îe3 и арифметически упорядоченными тройками чисел и позволяет определить координаты всех точек М евклидова пространства e3.
Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся свойством 1 операции откладывания отрезка, и группой аксиом скалярного произведения, согласно которой имеют место следующие свойства скалярного произведения (3.6), (3.8), (3.9), (3.10) из §3.
Пусть требуется найти длину отрезка , если заданы координаты его концов и . Учитывая, что , из формулы (8) § 3 находим длину
(4.3)
Пусть = (u1,v1,w1) и = (u2,v2,w2) - направленные отрезки в e3 и пусть их координаты (u1,v1,w1), (u1,v1,w1) в Е3. Тогда, используя формулы (3.6), (3.9), (3.10) из §3, получаем формулу для косинуса угла образованного векторами и
(4.4)
Определение.
Арифметической, или координатной, моделью трёхмерного евклидова пространства e3 называется множество упорядоченных троек чисел (x,y,z) определяемых соответствием (4.2) вместе с формулами длины отрезка (4.З) и углов между направленными отрезками (4.4), выраженными через скалярное произведение. Арифметическую модель трехмерного евклидова пространства будем обозначать R3.
|
Вывод 1.
Для построения координатной модели трёхмерного евклидова пространства требуется задать:
· геометрическую модель направленных отрезков трехмерного векторного пространства e3 и изоморфную ей модель координатного векторного пространства Е3 ;
· структуру скалярного произведения, посредством которого вычисляются длины и углы;
· Структуру операции откладывания вектора состоящую из трёх аксиом Вейля.
Основные объекты геометрии - точки, прямые и плоскости в R3 определяются на «языке» векторов и координат и позволяют построить множество геометрических фигур. Рассмотрим пример такого построения.
Построение плоскости. Пусть плоскость П определяется точкой M0(x0,y0,z0) и вектором нормали (A,B,C). Это эквивалентно тому, что если М(x,y,z) - произвольная точка плоскости П, то , что эквивалентно условию ( )=0, или в координатной форме П:
(x-x0)A+(y-y0)B+(z-z0)C=0
Таким образом, искомая плоскость П в R3 - это множество троек чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению. Что даёт это уравнение? Оно позволяет для любой точки заданной своими координатами выяснить, где лежит эта точка: на плоскости, под плоскостью или над плоскостью.
Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в R3 и их метрические характеристики: длина, углы, площади и т.д.
Вывод 2.
Решение геометрических задач в модели R3 сводится к решению алгебраических задач: уравнений, систем уравнений, неравенств.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!