Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 204 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Предположим, что плоская пластина имеет поверхностную плотность распределения масс непрерывную в . Тогда масса этой пластины вычисляется по формуле
.
Моменты инерции и плоской материальной пластины с поверхностной плотностью относительно координатных осей , и начала координат соответственно вычисляются по формулам:
;
В случае однородной пластины (ρ =1) эти формулы принимают более простой вид:
, , .
Координаты центра тяжести материальной пластины с плотностью вычисляется по формулам
,
где
-
статические моменты пластины относительно осей и соответственно, а - ее масса.
В случае однородной пластины соответственно имеем:
, .
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми и .
Имеем . Порядок интегрирования выберем так, как указано на чертеже (рис. 13)
Рис. 13.
Сначала определим координаты точки А:
и .
Проекция области на ось есть отрезок [0,2]. Таким образом,
Пример 2. Вычислить площадь параболического сегмента АОВ, ограниченного дугой ВОА параболы и отрезком ВА, соединяющим точки и
Ясно, что уравнение параболы имеет вид (). Фигура , площадь которой надо вычислить, ограничена снизу параболой , а сверху - прямой . Следовательно,
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой
Вычисления по формуле
не применимы ввиду сложности пределов интегрирования. Произведем замену переменных по формулам
откуда
При этом т. е.
В плоскости координат соответствующая линия имеет вид т.е. представляет собой окружность, а область - круг с площадью Используя соответствующие формулы, получаем
.
Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
(а >0).
Линии даны в полярных координатах, поэтому воспользуемся формулой площади в полярных координатах
|
Первая функция определена при , а вторая - при так как при прочих значениях получается r <0. Соответствующая область имеет вид, изображенный на рис.14. Ввиду симметрии фигуры относительно полярной оси можно ограничиться вычислением половины площади, а результат удвоить.
Рис. 14.
Имеем
Пример 5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , , .
Первые два уравнения изображают параболические цилиндры с вертикальной образующей, третье, т. е. - уравнение наклонной плоскости, а уравнение - плоскость . Соответствующее тело изображено на рис. 15; сверху его ограничивает поверхность .
Рис. 15. | Рис. 16. |
Объем тела вычислим по формуле
где область изображена на рис. 16. Имеем
Пример 6. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями , , .
Тело, объем которого нужно вычислить, изображено на рис. 17. В силу симметрии тела относительно плоскости , вычислим объем половины тела и результат удвоим. Координаты точек А и В удовлетворяют системе уравнений и , откуда , .
Рис.17.
Следовательно,
Пример 7. Вычислить площадь поверхности сферы
Сфера симметрична относительно координатных плоскостей, поэтому будем вычислять площадь поверхности той части, которая расположена в первом октанте, а результат умножим на 8. Запишем поверхность верхней полусферы явно, т. е. в виде , и воспользуемся соответствующей формулой. Имеем:
Переходя к полярным координатам найдем искомую площадь
Пример 8. Определить массу круглой пластины радиуса R с центром в начале координат, если поверхностная плотность материала пластины в точке равна , где k >0 – фиксированное число.
Переходя от прямоугольных координат к полярным, имеем
Пример 9. Найти массу круглой пластины с поверхностной плотностью
Имеем:
Последний интеграл равен нулю, как интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку относительно начала координат. Поэтому, делая подстановку , получим
|
Пример 10. Найти моменты инерции квадратной пластины , относительно осей координат и начала координат, если плотность пластины пропорциональна ординате точки пластины с коэффициентом k.
Вычисления производим по соответствующим формулам этого параграфа учитывая, что
1)
2)
3)
Пример 11. Найти координаты центра тяжести пластины, ограниченной параболой и прямой если плотность пластины постоянна и равна
Сделаем чертеж (рис. 18). Находим абсциссы точек А и В пересечения прямой и параболы Из системы уравнений находим и
Рис. 18.
1). Масса пластины равна
2). Вычислим статические моменты пластины относительно координатных осей
3). Координаты центра тяжести найдем теперь по формулам
Контрольные вопросы:
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!