Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-12-13 | 633 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Действительно, при pi=mi формула (12.2.2) приобретает вид:
,
где mi – сосредоточенные массы, расположенные на оси абсцисс. Аналогично формулу (12.2.3) перепишем в виде
где m(х) – линейная плотность распределения масс. Из механики известно, что правые части двух последних формул представляют собой моменты инерции относительно оси, проходящей через точку а, такую, что , т.е. через центр тяжести системы.
Сокращённая формула для вычисления дисперсии
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом её математического ожидания:
. (12.4.1)
Замечание 1. , т.к. величины и зависимы.
Замечание 2. При доказательстве была применена формула квадрата разности к случайной величине . По определению произведения случайных величин и согласно теореме 2 о квадрате случайной величины её возможные значения равны . Это возможные значения случайной величины . Поэтому можно использовать равенство .
Для непрерывной случайной величины формула (12.4.1) имеет вид:
. (12.4.2)
Если все возможные значения непрерывной случайной величины Х сосредоточены на отрезке [ a, b ], то:
. (12.4.3)
Замечание. Формулу (12.4.1) иногда записывают в виде
.
Пример. Найдем дисперсию случайной величины предыдущего примера по формуле (12.4.1). Для этого составим ряд случайной величины Х 2:
Х 2 | ||
р | 0,3 | 0,7 |
.
Получено то же значение, что и по определению дисперсии.
Свойства дисперсии
Все свойства докажем для дискретных случайных величин, но ими обладают и непрерывные величины.
|
1. Дисперсия случайной величины неотрицательна:
.
2. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
.
Замечание. Действительно, если случайная величина принимает только одно значение, то у нее нет разброса значений (рассеиваться она не может).
3. Нелинейность относительно умножения на константу. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
. (12.5.1)
4.Линейность относительно суммирования. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
. (12.5.2)
Доказательство. Воспользуемся свойствами математического ожидания и независимостью величин Х и Y (тогда математическое ожидание произведения равно произведению математических ожиданий).
.
Следствие 1. Свойство 4 можно распространить на любое конечное число слагаемых. Доказательство аналогично линейному свойству математического ожидания.
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины:
(12.5.3)
5. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
(12.5.4)
Доказательство. По свойствам 4 и 3
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!