История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Проблема типологии научных революций: Глобальные научные революции и типы научной рациональности...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Как мы говорим и как мы слушаем: общение можно сравнить с огромным зонтиком, под которым скрыто все...
Дисциплины:
2017-12-12 | 395 |
5.00
из
|
Заказать работу |
Для двух произвольных событий
Вероятность произведения двух произвольных событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, в предположении, что первое имеет место, т.е.
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Следствие. Для любых двух событий А и В справедливо равенство
P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
Теорема умножения произвольных событий допускает обобщение на случай нескольких событий.
Для двух независимых событий
Вероятность совместного появления двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A)P(B).
Для нескольких событий, независимых в совокупности.
Вероятность произведения конечного числа независимых в совокупности событий равна произведению вероятностей этих событий:
P(A1 x A2 x...x An) = P(A1) x P(A2) x...x P(An).
Формула полной вероятности. Вероятность события В, появляющегося в результате реализации одной и только одной гипотезы Ai(i = 1, 2,..., n) из некоторой группы несовместных гипотез A1, A2,..., An равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез, образующих полную группу, на соответствующие условные вероятности события В, т.е.
,
причем .
В теоретико-вероятностных приложениях часто требуется найти вероятность события Ai, если известно, что В произошло. Общая схема решения подобных практических задач сводится к применению формулы Байеса:
.
Принцип использования формулы Байеса можно пояснить следующим образом.
Пусть событие В может быть реализовано в различных условиях, относительно характера которых можно сделать n гипотез: A1, A2,...,An.
По тем или иным причинам вероятности P(Ai) этих гипотез известны до испытания (априорные вероятности). Известно также, что гипотеза Ai сообщает событию В вероятность P(B|Ai). Произведен опыт, в котором событие В наступило. Это должно вызвать переоценку вероятностей гипотез Ai. Переоценка указанных вероятностей производится по формуле Байеса. Переоцененные вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями.
Сама по себе формула Байеса теоретически бесспорна, но во многих случаях ее применения априорные вероятности P(Ai) неизвестны. Некоторые исследователи в таких случаях считают возможным предполагать равные вероятности всех гипотез Ai. Однако в общем случае такой подход неверен].
Другим выходом из проблемной ситуации, связанной с незнанием априорных вероятностей, явился метод последовательного применения формулы Байеса, когда апостериорные вероятности многократно пересчитываются и на каждом последующем шаге используются как априорные. При этом неизвестные априорные гипотезы также принимаются равновероятными, но многократный пересчет значительно снижает влияние данного предположения на конечные.
Формула полной вероятности.
Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2,..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A,..., HnA. Следовательно,
Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем
Но (i=1, 2,..., n), поэтому
Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2,..., Hn часто называют «гипотезами».
Теорема Байеса.
Теорема Байеса — позволяет определить вероятность того, что произошло какое-либо событие (гипотеза) при наличии лишь косвенных тому подтверждений (данных), которые могут быть неточны.
Формула Байеса:
,
где
— априорная вероятность (насколько вероятна причина вообще) гипотезы A
— вероятность гипотезы A при наступлении события B
— вероятность наступления события B при истинности гипотезы A
— полная вероятность наступления события B.
Следствие
Формула Байеса является важным следствием из формулы полной вероятности события, зависящего от нескольких несовместных гипотез (и только от них!).
— вероятность наступления события B, зависящего от ряда гипотез , если известны степени достоверности этих гипотез (например, измерены экспериментально);
Формула Бернулли
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А.
Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна:
Pn(k)=Cnkpkqn-k
или
где q=1-p
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам:
Pn(0)+Pn(1)+...+Pn(k-1);
Pn(k+1)+Pn(k+2)+...+Pn(n);
Pn(k)+Pn(k+1)+...+Pn(n);
Pn(0)+Pn(1)+...+Pn(k);
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!