Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-12-12 | 275 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый формулой:
(1)
Пусть заданный интеграл не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную : . Тогда , , т.е. .
□ Найдем производные по переменной от левой и правой части; , . Т.к. , то эти производные равны, поэтому по следствию Лагранжа левая и правая части (1) отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до неопределенного постоянного слагаемого, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■
Формула показывает, что переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, свести его к табличному.
Пример. Найти .
Решение. .
Замечание. Новую переменную можно не выписывать явно, а производить преобразования функции под знаком дифференциала (путем введения постоянных и переменных под знак дифференциала).
Теорема. Пусть некоторая первообразная для функции . Тогда если вместо аргумента подынтегральной функции и первообразной подставить выражение , то это приведет к появлению дополнительного множителя перед первообразной: , где и - некоторые числа, .
□ Перепишем в виде: . Но . Вынося постоянный множитель за знак интеграла и деля левую и правую части равенства на , приходим к .■
Алгоритм вычисления:
1) Делаем замену.
2) Дифференцируем замену .
3) Под знаком интеграла переходим к новой переменной.
4) Находим табличный интеграл.
5) Возвращаемся к старой переменной.
Метод интегрирования по частям для случаев неопределенного и определенного интегралов (вывести формулу). Примеры.
|
Интегрирование - действие, обратное дифференцированию, то каждому правилу дифференцирования должно соответствовать некоторое правило интегрирования.
Пусть и - дифференцируемые функции от х. Имеем: , откуда .
Интегрируя обе части последнего равенства, получим: , или
.
Это и есть формула интегрирования по частям.
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух множителей и (последний обязательно содержит ) и согласно формуле данное интегрирование заменяется двумя:
1) при отыскании из выражения для ;
2) при отыскании интеграла от .
Может оказаться, что эти два интегрирования легко осуществляются, тогда как заданный интеграл непосредственно найти трудно.
Правило интегрирования по частям нередко позволяет довести интегрирование до конца.
Пример. Найти .
Решение.
Пример. Найти .
Решение. .
Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы интегрирования по частям:
, где - многочлен | |
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!