Канонические уравнения прямой

Вопрос

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк одинаковой длины.

Матрицы равны между собой, если равны все их соответствующие элементы.

Матрица, у которой число строк и столбцов равно – называется квадратной.

Матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной. Обозначается буквой Е.

Матрица, у которой все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю, называется треугольной.

Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Вопрос

Обратная матрица

1.

2.

3.

Для того чтобы матрица имела обратную достаточно того, чтобы она была невырождена.

Вопрос

Рангом системы строк (столбцов) матрицы A с m строк и n столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы

1. Перестановка местами 2 параллельных рядов матрицы.

2. Умножение элементов ряда матрицы на число отличное от нуля, отличное от нуля.

3. Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

Из элементов стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-ого порядка. Наибольший из порядков таких миноров называется рангом матрицы.

Вопрос

1.

2.

3.

 

Для нахождения определителя более высокого порядка, матрицу приводят к треугольному виду и считают произведение элементов на главной диагонали.

 

Вопрос

Свойства определителей

Свойства:

1. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, и наоборот.

2. При перестановке двух параллельных рядов определитель меняет знак.

3. Определитель, имеющий два одинаковых или пропорциональных ряда, равен нулю.

4. Общий множитель элементов можно вынести за знак определителя.

5. Если элементы какого-либо ряда представляют собой сумму элементов, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

6. Определитель не изменится, если прибавим ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

7. Определитель равен сумме элементов, умноженных на соответствующее им алгебраическое дополнение.

8. Сумма произведения элементов одного ряда на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю.

Вопрос

СЛУ - это система уравнений вида

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы:

1. точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др.),

2. итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др.).

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если у неё нет ни одного решения.

Совместная система вида (1) может иметь одно или более решений.

Решения c ₁⁽¹⁾, c ₂⁽¹⁾, …, c_n ⁽¹⁾ и c ₁⁽²⁾, c ₂⁽²⁾, …, c_n ⁽²⁾ совместной системы вида (1) называются различными, если нарушается хотя бы одно из равенств:

c 1(1) = c 1(2), c 2(1) = c 2(2), …, cn (1) = cn (2).

Совместная система вида (1) называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой. Если уравнений больше, чем неизвестных, она называется переопределённой.

Вопрос

Матричная запись системы линейных уравнений
AX = B,где

Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы. Матрицу

называют расширенной матрицей системы, а матрицу для которой AС = В, - вектор-решением системы.

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

AX = B, где A — основная матрица системы, B и X — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на A ^{− 1} — матрицу, обратную к матрице A:

Так как A ^{− 1} A = E, получаем X = A ^{− 1} B. Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

Для однородной системы линейных уравнений, то есть когда вектор B = 0, действительно обратное правило: система AX = 0 имеет нетривиальное (то есть ненулевое) решение только если det A = 0. Такая связь между решениями однородных и неоднородных систем линейных уравнений носит название альтернативы Фредгольма.

Вопрос

Метод Гаусса

Сначала следует привести систему к треугольному (ступенчатому) виду, а затем ступенчато решить.

Формула Крамера.

Подсчитать определитель матрицы А.

Затем матрицей B заменить первый столбец матрицы А, подсчитать определитель и разделить его на detA, так мы получим x₁. То же самое проделать со 2-ым и 3-им столбцом.

Билет

Вопрос

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрическихуравнений.

Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается r) соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.^[1]

Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке.

Вопрос

Векторное уравнение прямой

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M₀(x₀;y₀;z₀) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M₀ через r и r₀.

Тогда уравнение прямой запишется в виде:

где t – скалярный множитель (параметр).

Вопрос

Вопрос

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n₁ и n₂ то направляющий вектор запишется как векторное произведение:

Частные случаи:

1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

4) y = 0 - ось Ox;

5) x = 0 - ось Oy.

Каждый не равный нулю вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, называется направляющим вектором этой прямой.

Направляющий вектор произвольной прямой в дальнейшем обозначается буквой , его координаты - буквами l, m, n:

.

Если известна одна точка прямой и направляющий вектор , то прямая может быть определена (двумя) уравнениями вида

. (1)

равнение прямой на плоскости: Ах+Ву+С=0

Координаты нормального вектора: (А;В),

 

 

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Определение. Если заданы две прямые y = k₁ x + b₁, y = k ₂x + b₂, то острый угол между этими прямыми будет определяться как

 

.

Две прямые параллельны, если k₁ = k₂.

Две прямые перпендикулярны, если k₁ = -1/ k₂.

 

Теорема. Прямые Ах + Ву + С = 0 и А ₁ х + В₁ у + С₁ = 0 параллельны, когда пропорциональны коэффициенты А₁ = λА, В₁ = λВ. Если еще и С₁ = λС, то прямые совпадают.

Координаты точки пересечения двух прямых находятся как решение системы уравнений этих прямых.

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Окружность

Окружностью (рис.1) называется геометрическое место точек, равноудалённых от данной точки О, называемой центром окружности, на расстояние R. Число R > 0 называется радиусом окружности.

Уравнение окружности радиуса R с центром в точке О (х ₀, у ₀) имеет вид:

 

(х – х ₀ ) ² + (у – у ₀ ) ² = R ².

Если центр окружности совпадает с началом координат, то уравнение окружности упрощается:

 

х ² + у ² = R ².

 

Пусть Р (х ₁, у ₁) – точка окружности (рис.1), тогда уравнение касательной к окружности в данной точке имеет вид:

 

(х ₁ – х ₀ ) (х – х ₀ ) + (у ₁ – у ₀ ) (у – у ₀ ) = R ².

 

Условие касания прямой y = m x + k и окружности х ² + у ² = R ²:

 

 

k ² / (1 + m ² )= R ².

Вопрос

Эллипс

Эллипсом (рис.1) называется геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂ , называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Уравнение эллипса (рис.1):

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ (рис.1), при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY, а при a = b эллипс становится окружностью (фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок F ₁ F ₂ = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осьюэллипса. Число e = c / a, e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

 

Пусть Р (х ₁, у ₁) – точка эллипса, тогда уравнение касательной к эллипсу в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и эллипса х ² / a ² + у ² / b ² = 1:

 

 

k ² = m ² a ²+ b ².

Вопрос

Гипербола

Гиперболой (рис.1) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек F ₁ и F ₂ , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы (рис.1):

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок F ₁ F ₂ = 2 с, где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется действительной осью гиперболы, а отрезок CD = 2 b – мнимой осьюгиперболы. Число e = c / a, e > 1 называется эксцентриситетомгиперболы. Прямые y = ± (b / a) x называются асимптотами гиперболы.

 

Пусть Р (х ₁, у ₁) – точка гиперболы, тогда уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой y = m x + k и гиперболы х ² / a ² – у ² / b ² = 1:

 

 

k ² = m ² a ²– b ².

Вопрос

Парабола

Парабола (рис. 4.16)

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Фокальный радиус:

Уравнение директрисы:

Уравнение касательной в точке

Свойство касательной к параболе: (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).

Уравнение нормали в точке

Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.

Параметрические уравнения параболы:

Полярное уравнение:

Вопрос

Векторы в пространстве

Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а, обозначается - а.

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через e. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a, называется ортом вектора a и обо значается a °.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b.

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Два вектор а и b называются равными (а = b), если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины.

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства.

На рисунке 1 векторы образуют прямоугольник. Справедливо равенство b =d, но а¹ с. Векторы а и с — противоположные, а =-с.

Равные векторы называют также свободными.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы компланарны

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Общее уравнение плоскости

 

Вопрос

Вопрос

Угол между плоскостями

Рассмотрим две плоскости α₁ и α₂, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α₁ и α₂ равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2 y -3 z +4=0 и 2 x +3 y + z +8=0.

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Вопрос

Понятие функции. Свойства задания и основные свойства

Функцией называется закон, по которому числу х из заданного множества Х, поставлено в соответствие только одно число у, пишут , при этом x называют аргументом функции, y называют значением функции.

Существуют разные способы задания функций.

1. Аналитический способ.

Аналитический способ - это наиболее часто встречающийся способ задания функции.

Заключается он в том, что функция задается формулой, устанавливающей, какие операции нужно произвести над х, чтобы найти у. Например .

Рассмотрим первый пример - . Здесь значению x = 1 соответствует , значению x = 3 соответствует и т. д.

Функция может быть задана на разных частях множества X разными функциями.

Например:

Во всех ранее приведенных примерах аналитического способа задания, функция была задана явно. То есть, справа стояла переменная y, а справа формула от переменной х. Однако, при аналитическом способе задания, функция может быть задана и неявно.

Например . Здесь, если мы задаем переменной x значение, то, чтобы найти значение переменной у (значение функции), мы должны решить уравнение. Например, для первой заданной функции при х = 3, будем решать уравнение:

. То есть, значение функции при х = 3 равно -4/3.

 

При аналитическом способе задания, функция может быть задана параметрически - это, когда х и у выражены через некоторый параметр t. Например,

Здесь при t = 2, x = 2, y = 4. То есть, значение функции при х = 2 равно 4.

 

2. Графический способ.

При графическом способе вводится прямоугольная система координат и в этой системе координат изображается множество точек с координатами (x,y). При этом . Пример:

3. Словесный способ.

Функция задается с помощью словесной формулировки. Классический пример – функция Дирихле.

«Функция равна 1, если х – рациональное число; функция равна 0, если х – иррациональное число».

 

4. Табличный способ.

Табличный способ наиболее удобен, когда множество Х конечно. При этом способе составляется таблица, в которой каждому элементу из множества Х, ставится в соответствие число Y.

Пример:

Табличный способ задания функции очень удобен при обработке результатов исследований.

 

Основные свойства функции.

1) Четность и нечетность. Функция называется четной, если для любых значений из области определения и нечетной, если . В противном случае функция называется функцией общего вида.

Пример.

а) Функция - четная (рис.3.3 а). т.к ; б) Функция - нечетная (рис.3.3 б). ; в) Функция - общего вида (рис.3.3 в). .

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2) Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке , если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие и убывающие называются монотонными функциями.

Пример.

1) Функция - на интервале монотонно возрастает (рис.3.4а). 2) Функция - на интервале монотонно убывает (рис.3.4 б).

3) Ограниченность. Функция называется ограниченной на промежутке , если существует такое положительное число , что для любого . В противном случает функция называется неограниченной.

- ограничена на всей числовой оси, т.к. для любого .

4) Периодичность. Функция называется периодической с периодом , если для любых из области определения функции .

Пример.

, период , т.к. для любых .

 

Вопрос

И 38 вопрос

Область определения и область значений функции

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел R. Это значит, что аргумент функции может принимать только те действительные значения, при которых функция определена, т.e. она также принимает только действительные значения. Множество X всех допустимых действительных значений аргумента x, при которых функция y = f (x)определена, называется областью определения функции. Множество Y всех действительных значений y, которые принимает функция, называется областью значений функции. Теперь можно дать более точное определение функции: правило (закон) соответствия между множествами X и Y, по которому для каждого элемента из множества X можно найти один и только один элемент из множества Y, называется функцией.

Из этого определения следует, что функция считается заданной, если:

- задана область определения функции X;

- задана область значений функции Y;

- известно правило (закон) соответствия, причём такое, что для каждого

значения аргумента может быть найдено только одно значение функции.

Это требование однозначности функции является обязательным.

Вопрос

График функции

Выберем на плоскости прямоугольную систему координат и будем откладывать на оси абсцисс значения аргумента х, а на оси ординат - значения функции у = f (х).

Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек, у которых абсциссы принадлежат области определения функции, а ординаты равны соответствующим значениям функции.

Другими словами, график функции y = f (х) - это множество всех точек плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют соотношению y = f(x).

На рис. 45 и 46 приведены графики функций у = 2х + 1 и у = х² — 2х.

Строго говоря, следует различать график функции (точное математическое определение которого было дано выше) и начерченную кривую, которая всегда дает лишь более или менее точный эскиз графика (да и то, как правило, не всего графика, а лишь его части, расположенного в конечной части плоскости). В дальнейшем, однако, мы обычно будем говорить «график», а не «эскиз графика».

С помощью графика можно находить значение функции в точке. Именно, если точка х = а принадлежит области определения функции y = f(x), то для нахождения числа f(а) (т. е. значения функции в точке х = а) следует поступить так. Нужно через точку с абсциссой х = а провести прямую, параллельную оси ординат; эта прямая пересечет график функции y = f(x) в одной точке; ордината этой точки и будет, в силу определения графика, равна f(а) (рис. 47).

Например, для функции f(х) = х² — 2x с помощью графика (рис. 46) находим f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0 и т. д.

График функции наглядно иллюстрирует поведение и свойства функции. Например, из рассмотрения рис. 46 ясно, что функция у = х²— 2х принимает положительные значения при х < 0 и при х > 2, отрицательные - при 0 < x < 2; наименьшее значение функция у = х^{2 -} 2х принимает при х = 1.

Для построения графика функции f(x) нужно найти все точки плоскости, координаты х, у которых удовлетворяют уравнению y = f(x). В большинстве случаев это сделать невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому график функции изображают приблизительно - с большей или меньшей точностью. Самым простым является метод построения графика по нескольким точкам. Он состоит в том, что аргументу х придают конечное число значений - скажем, х₁, х₂, x₃,..., х_k и составляют таблицу, в которую входят выбранные значения функции.

Таблица выглядит следующим образом:

x	x1	x2	x3	...	xk
y	f(x1)	f(x2)	f(x3)	...	f(xk)

Составив такую таблицу, мы можем наметить несколько точек графика функции y = f(x). Затем, соединяя эти точки плавной линией, мы и получаем приблизительный вид графика функции y = f(x).

Следует, однако, заметить, что метод построения графика по нескольким точкам очень ненадежен. В самом деле поведение графика между намеченными точками и поведение его вне отрезка между крайними из взятых точек остается неизвестным.

Пример 1. Для построения графика функции y = f(x) некто составил таблицу значений аргумента и функции:

x	-2	-1
y	-1

Соответствующие пять точек показаны на рис. 48.

На основании расположения этих точек он сделал вывод, что график функции представляет собой прямую (показанную на рис. 48 пунктиром). Можно ли считать этот вывод надежным? Если нет дополнительных соображений, подтверждающих этот вывод, его вряд ли можно считать надежным. надежным.

Для обоснования своего утверждения рассмотрим функцию

.

Вычисления показывают, что значения этой функции в точках -2, -1, 0, 1, 2 как раз описываются приведенной выше таблицей. Однако график этой функции вовсе не является прямой линией (он показан на рис. 49). Другим примером может служить функция y = x + l + sinπx; ее значения тоже описываются приведенной выше таблицей.

Эти примеры показывают, что в «чистом» виде метод построения графика по нескольким точкам ненадежен. Поэтому для построения графика заданной функции, как правило, поступают следующим образом. Сначала изучают свойства данной функции, с помощью которых можно построить эскиз графика. Затем, вычисляя значения функции в нескольких точках (выбор которых зависит от установленных свойств функции), находят соответствующие точки графика. И, наконец, через построенные точки проводят кривую, используя свойства данной функции.

Некоторые (наиболее простые и часто используемые) свойства функций, применяемые для нахождения эскиза графика, мы рассмотрим позже, а сейчас разберем некоторые часто применяемые способы построения графиков.

 

График функции у = |f(x)|.

Нередко приходится строить график функции y = |f(x) |, где f(х) -заданная функция. Напомним, как это делается. По определению абсолютной величины числа можно написать

Это значит, что график функции y =|f(x)| можно получить из графика, функции y = f(x) следующим образом: все точки графика функции у = f(х), у которых ординаты неотрицательны, следует оставить без изменения; далее, вместо точек графика функции y = f(x), имеющих отрицательные координаты, следует построить соответствующие точки графика функции у = -f(x) (т. е. часть графика функции
y = f(x), которая лежит ниже оси х, следует симметрично отразить относительно оси х).

Пример 2. Построить график функции у = |х|.

Решение.

Берем график функции у = х (рис. 50, а) и часть этого графика при х < 0 (лежащую под осью х) симметрично отражаем относительно оси х. В результате мы и получаем график функции у = |х| (рис. 50, б).

 

Пример 3. Построить график функции y = |x² - 2x|.

Сначала построим график функции y = x² - 2x. График этой функции - парабола, ветви которой направлены вверх, вершина пар