Основные законы булевой алгебры

Билет №1.

Основные понятия математической логики (операции).

Ответ:

1.Высказывание (суждение) —это повествовательное, в котором либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать: истинно или ложно. Например: «лёд – твёрдое состояние воды» - истинное высказывание. 6=5 – ложное высказывание.

2.Логические величины - понятия, выражаемые словами: истина, ложь. Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.

3.Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

4.Логическая переменная – символически обозначенная логическая величина. Если известно, что А, В, и пр. переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только истина или ложь.

5.Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).

6.Логическая формула(логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является истина или ложь.

Основные элементы и узлы ПК

Ответ:

Современный персональный компьютер состоит из нескольких основных блоков или узлов: системный блок, монитор, клавиатура, манипуляторы (манипуляторы осуществляют непосредственный ввод информации, указывая курсором на экране монитора команду или место ввода данных, используются для облегчения управления компьютером. К манипуляторам относятся мышь, трекбол, графический планшет, световое перо, тачпад, сенсорный экран, Roller Mouse, pointing stick, джойстик и игровые манипуляторы).

 

В системном блоке находится вся электронная начинка компьютера:

1. Материнская (или системная) плата, которая содержит основные компоненты компьютера, определяющие его архитектуру, а именно:

2. Процессор — для выполнения вычислений и общего управления компьютером;

3. Математический сопроцессор — для увеличения скорости вычислений с числами большой точности; Математический сопроцессор ускоряет расчеты, использующие операции над числами с плавающей запятой, примерно в 5-15 раз.В процессорах 486DX и PENTIUM сопроцессор уже внедрен в основной процессор и дополнительной установки не требуется.

4. Память — для постоянного и временного хранения информации;

5. Chipset - набор сверхбольших микросхем, на которых реализована вся архитек-тура платы

6. Слоты расширения для установки контроллеров

7. дисководы и винчестеры — для ввода/вывода и хранения информации;

8. По способу записи и чтения информации на носитель дисковые накопители можно подразделить на магнитные, оптические и магнитооптические.

9. Среди дисковых накопителей можно выделить:

a) накопители на флоппи-дисках;

b) накопители на несменных жестких дисках (винчестеры);

c) накопители на сменных жестких дисках;

d) накопители на магнитооптических дисках;

e) накопители на оптических компакт-дисках CD-ROM и др.

10. Контроллеры и адаптеры — устройства для анализа сигналов, поступающих в устройства компьютера;

11. Блок питания (вторичный источник электропитания, предназначенный для снабжения узлов компьютера электрической энергией постоянного тока, путём преобразования сетевого напряжения до требуемых значений).

 

Билет №2.

Булева алгебра, законы Б.А.

Ответ:

Булева алгебра - раздел математики, изучающий методы оперирования логическими (булевыми) переменными, принимающими только два значения - истина и ложь. Предложен английским математиком Джорджем Булем". Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина).

 

Билет №3.

Основные символы математической логики

Ответ:

Конъюнкция (и, а, но) ^

Дизъюнкция (или) ˅

Импликация (если, то) А—>В (А-поссылка, В -заключение)

Эквиваленция (тогда и только тогда, когда) ~

Отрицание(частица не) -

Билет №4.

Билет №5.

Матрицы. Основные понятия, определители, формула Крамера.

Ответ:

 

Матрица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы.

Основные понятия.

 

Определитель (или детерминант). Определитель матрицы является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.

Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).

 

 

Билет №6.

Основные понятия о теории вероятности и математической статистике, случайные явления, случайные величины.

Ответ:

Основные понятия теории вероятностей.

Наблюдаемые события можно разделить на три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет при выполнении данного ряда условий.

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет при

выполнении данного ряда условий.

Событие называется случайным, если при осуществлении ряда условий оно может либо произойти, либо не произойти.

Испытанием называется осуществление ряда условий.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

События называются равновозможными, если можно считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другие.

Элементарным исходом называется каждый из возможных результатов испытания.

Полной группой называется совокупность единственно возможных событий испытания.

Противоположными называются два единственно возможных события, образующих полную группу. Если одно из двух противоположных событий

обозначено через А, то другое обозначают A.

Суммой A + B двух событий A и B называется событие, состоящее в появлении события A или события B, или обоих этих событий.

Суммой нескольких событий называется событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий A и B называется событие AB, состоящее в

совместном появлении этих событий.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех элементарных исходов испытания, если все исходы равновозможны (классическое определение вероятности).

 

Случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причём появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Если бросается игральная кость, то в результате верхней гранью может оказаться одна из шести граней с количеством точек от одной до шести. Выпадение какой-либо грани в данном случае в теории вероятностей называется элементарным событием. Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные). На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная).

1. Пример смешанной случайной величины — время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке.

2. В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п.

3. Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям.

 

Случайное явление – это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. В природе нет ни одного физического явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности. Как бы точно и подробно ни были фиксированы условия опыта, невозможно достигнуть того, чтобы при повторении опыта результаты полностью и в точности совпадали. Случайные отклонения неизбежно сопутствуют любому закономерному явлению.

2. Антивирусные программы.

Ответ:

 

Антивирусная программа (антивирус) — любая программа для обнаружения компьютерных вирусов, а также нежелательных (считающихся вредоносными) программ вообще и восстановления зараженных (модифицированных) такими программами файлов, а также для профилактики — предотвращения заражения (модификации) файлов или операционной системы вредоносным кодом. Для использования антивирусов необходимы постоянные обновления так называемых баз антивирусов. Они представляют собой информацию о вирусах — как их найти и обезвредить. Поскольку вирусы пишут часто, то необходим постоянный мониторинг активности вирусов в сети. Для этого существуют специальные сети, которые собирают соответствующую информацию. После сбора этой информации производится анализ вредоносности вируса, анализируется его код, поведение, и после этого устанавливаются способы борьбы с ним. Чаще всего вирусы запускаются вместе с операционной системой. В таком случае можно просто удалить строки запуска вируса из реестра, и на этом в простом случае процесс может закончиться. Более сложные вирусы используют возможность заражения файлов. Например, известны случаи, как некие даже антивирусные программы, будучи зараженными, сами становились причиной заражения других чистых программ и файлов. Поэтому более современные антивирусы имеют возможность защиты своих файлов от изменения и проверяют их на целостность по специальному алгоритму. Таким образом, вирусы усложнились, как и усложнились способы борьбы с ними. Сейчас можно увидеть вирусы, которые занимают уже не десятки килобайт, а сотни, а порой могут быть и размером в пару мегабайт. Обычно такие вирусы пишут в языках программирования более высокого уровня, поэтому их легче остановить. Но по-прежнему существует угроза от вирусов, написанных на низкоуровневых машинных кодах наподобие ассемблера. Сложные вирусы заражают операционную систему, после чего она становится уязвимой и нерабочей. К сожалению, по прогнозам, в ближайшем будущем работа антивирусных компаний сильно осложнится в связи с тем, что будут сильнее распространяться вирусы с защитой от копирования.

Антивирусные программы можно классифицировать по пяти основным группам: фильтры, детекторы, ревизоры, доктора и вакцинаторы.

 

1. Антивирусы-фильтры - это резидентные программы, которые оповещают пользователя обо всех попытках какой-либо программы записаться на диск, а уж тем более отформатировать его, а также о других подозрительных действиях (например о попытках изменить установки CMOS). При этом выводится запрос о разрешении или запрещении данного действия. Принцип работы этих программ основан на перехвате соответствующих векторов прерываний. К преимуществу программ этого класса по сравнению с программами-детекторами можно отнести универсальность по отношению как к известным, так и неизвестным вирусам, тогда как детекторы пишутся под конкретные, известные на данный момент программисту виды. Это особенно актуально сейчас, когда появилось множество вирусов-мутантов, не имеющих постоянного кода. Однако, программы-фильтры не могут отслеживать вирусы, обращающиеся непосредственно к BIOS, а также BOOT-вирусы, активизирующиеся ещё до запуска антивируса, в начальной стадии загрузки DOS, К недостаткам также можно отнести частую выдачу запросов на осуществление какой-либо операции: ответы на вопросы отнимают у пользователя много времени и действуют ему на нервы. При установке некоторых антивирусов-фильтров могут возникать конфликты с другими резидентными программами, использующими те же прерывания, которые просто перестают работать.

 

2. Наибольшее распространение в нашей стране получили программы-детекторы, а вернее программы, объединяющие в себе детектор и доктор. Наиболее известные представители этого класса - Aidstest, Doctor Web, MicroSoft AntiVirus далее будут рассмотрены подробнее. Антивирусы-детекторы рассчитаны на конкретные вирусы и основаны на сравнении последовательности кодов содержащихся в теле вируса с кодами проверяемых программ. Многие программы-детекторы позволяют также «лечить» зараженные файлы или диски, удаляя из них вирусы (разумеется, лечение поддерживается только для вирусов, известных программе-детектору). Такие программы нужно регулярно обновлять, так как они быстро устаревают и не могут обнаруживать новые виды вирусов.

 

3. Ревизоры – это программы, которые анализируют текущее состояние файлов и системных областей диска и сравнивают его с информацией, сохранённой ранее в одном из файлов данных ревизора. При этом проверяется состояние BOOT-сектора, таблицы FAT, а также длина файлов, их время создания, атрибуты, контрольная сумма. Анализируя сообщения программы-ревизора, пользователь может решить, чем вызваны изменения: вирусом или нет. При выдаче такого рода сообщений не следует предаваться панике, так как причиной изменений, например, длины программы может быть вовсе и не вирус.

 

4. К последней группе относятся самые неэффективные антивирусы - вакцинаторы. Они записывают в вакцинируемую программу признаки конкретного вируса так, что вирус считает ее уже зараженной.

 

 

Билет №7.

Билет №8.

Билет №9.

Билет №10.

Метод наименьших квадратов.

Ответ:

 

Метод наименьших квадратов - один из базовых методов регрессионного анализа для оценки неизвестных параметров регрессионных моделей по выборочным данным. Метод основан на минимизации суммы квадратов остатков регрессии. Методом наименьших квадратов можно назвать метод решения задачи в любой области, если решение заключается или удовлетворяет некоторому критерию минимизации суммы квадратов некоторых функций от искомых переменных. Поэтому метод наименьших квадратов может применяться также для приближённого представления заданной функции другими (более простыми) функциями, при нахождении совокупности величин, удовлетворяющих уравнениям или ограничениям, количество которых превышает количество этих величин и т.д.

Билет №11.

Билет №12.

1. Методы проверки статистических гипотез, пример проверки по методу хи-квадрат или Пирсона.

Ответ:

Статистическая гипотеза - это определённое предположение о распределении вероятностей, лежащем в основе наблюдаемой выборки данных. Проверка статистической гипотезы - это процесс принятия решения о том, противоречит ли рассматриваемая статистическая гипотеза наблюдаемой выборке данных.

 

Методика проверки статистических гипотез:

 

 

Билет №13.

Программы-утилиты

Ответ:

Утилита - вспомогательная компьютерная программа в составе общего программного обеспечения для выполнения специализированных типовых задач, связанных с работой оборудования и операционной системы (ОС). Утилиты предоставляют доступ к возможностям (параметрам, настройкам, установкам), недоступным без их применения, либо делают процесс изменения некоторых параметров проще (автоматизируют его). Утилита удаляет ненужные файлы, ключи и другой мусор, оптимально настраивает различные приложения (интернет, проводник и т.п.), управляет запуском программ, отслеживает системные изменения при инсталляции нового софта и при желании возвращает в исходное состояние, следит за состоянием жестких дисков компьютера и предупреждает пользователя о негативных изменениях параметров.

Утилиты могут входить в состав операционных систем, идти в комплекте со специализированным оборудованием или распространяться отдельно.

 

По зависимости от операционной системы можно различать:

1. Независимые утилиты, не требующие для своей работы операционной системы,

2. Системные утилиты, входящие в поставку ОС и требующие её наличия.

 

 

Виды утилит по функциям

1. Диспетчеры файлов;

2. Архиваторы (с возможным сжатием данных);

3. Утилиты для диагностики аппаратного или программного обеспечения;

4. Утилиты восстановления после сбоев;

5. Оптимизатор диска — вид утилиты для оптимизации размещения файлов на дисковом накопителе, например, путём дефрагментации диска;

6. Деинсталляторы;

7. Утилиты управления процессами.

 

Билет №16.

Аксиоматический метод.

Ответ:

Аксиоматический метод – один из способов дедуктивного построения научных теорий, при котором:

1. выбирается некоторое множество принимаемых без доказательств предложений определенной теории (аксиом);

2. входящие в них понятия явно не определяются в рамках данной теории;

3. фиксируются правила определения и правила выбора данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других;

 

MS Accssec.

Ответ:

Microsoft Office Access или просто Microsoft Access - реляционная СУБД (связано с разработками в области систем баз данных корпорации Microsoft Система управления базами данных (СУБД)). Имеет широкий спектр функций, включая связанные запросы, связь с внешними таблицами и базами данных. Благодаря встроенному языку VBA (упрощённая реализация языка программирования Visual Basic), в самом Access можно писать приложения, работающие с базами данных.

Основные компоненты MS Access:

1. построитель таблиц;

2. построитель экранных форм;

3. построитель отчётов, выводимых на печать.

 

 

Билет №19.

Методы защиты информации.

Установка препятствия — метод физического преграждения пути злоумышленнику к защищаемой информации, в т.ч. попыток с использованием технических средств съема информации и воздействия на нее.

Управление доступом — метод защиты информации за счет регулирования использования всех информационных ресурсов, в т.ч. автоматизированной информационной системы предприятия. Управление доступом включает следующие функции защиты:

• идентификацию пользователей, персонала и ресурсов информационной системы (присвоение каждому объекту персонального идентификатора);

• аутентификацию (установление подлинности) объекта или субъекта по предъявленному им идентификатору;

• проверку полномочий (проверка соответствия дня недели, времени суток, запрашиваемых ресурсов и процедур установленному регламенту);

• разрешение и создание условий работы в пределах установленного регламента;

• регистрацию (протоколирование) обращений к защищаемым ресурсам;

• реагирование (сигнализация, отключение, задержка работ, отказ в запросе) при попытках несанкционированных действий.

Маскировка — метод защиты информации с использованием инженерных, технических средств, а также путем криптографического закрытия информации.

1. Маскираторы аналогово-цифровые статические.

2. Скремблеры - маскираторы аналогово-цифровые динамические.

3. Вокодеры - устройства, передающие речь в цифровом виде и зашифрованном.

Методы защиты информации на практике реализуются с применением средств защиты.

 

Средства защиты информации.

Средства защиты информации можно разделить:

1. Средства, предназначенные для защиты информации. Эти средства не предназначены для непосредственной обработки, хранения, накопления и передачи защищаемой информации, но находящиеся в одном помещении с ними.

Делятся на:

пассивные – физические (инженерные) средства, технические средства обнаружения, ОС, ПС, СКУД, ВН, приборы контроля радиоэфира, линий связи и т.п.;

активные – источники бесперебойного питания, шумогенераторы, скремблеры, устройства отключения линии связи, программно-аппаратные средства маскировки информации и др.

2. Средства, предназначенные для непосредственной обработки, хранения, накопления и передачи защищаемой информации, изготовленные в защищенном исполнении. НИИЭВМ РБ разрабатывает и выпускает защищенные носимые, возимые и стационарные ПЭВМ.

3. Средства, предназначенные для контроля эффективности защиты информации.

 

Билет №21.

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции или парный коэффициент корреляции в теории вероятностей и статистике — это показатель характера взаимного стохастического влияния изменения двух случайных величин. Коэффициент корреляции обозначается латинской буквой R в математической статистике (r в статистике) и может принимать значения от −1 до +1. Если значение по модулю находится ближе к 1, то это означает наличие сильной связи, а если ближе к 0 — связь слабая или вообще отсутствует. При коэффициенте корреляции равном по модулю единице говорят о функциональной связи, то есть изменения двух величин можно описать математической функцией.

 

Билет №22.

1. Зачем юристу математика (практический пример)?

Ответ:

 

Математика это необходимый предмет, мы с ней сталкиваемся повсеместно и от этого никуда не деться. Математика развивает в человеке логическое мышление, а это куда как необходимо юристу, он в большей степени нуждается в логике, чем любой простой рабочий. Например, в правоохранительных органах работают люди с высшим юридическим образованием и здесь наиболее четко видна необходимость знания естественных наук. Особенно это касается специалистов криминалистов. В их работе знание естественных наук просто необходимо, так как зачастую криминалист должен моментально выдвигать версии по работе, и часто для этого необходимы детали, которые можно подметить только при знании физики ли, математики ли или других наук. Пример такой ситуации: случился пожар, на место происшествия прибыли эксперты-криминалисты (при наличии подозрения о поджоге), и криминалист, проанализировав все детали, например, в каком состоянии была электрическая розетка, сделать вывод о происшествии: было это преступлением или несчастным случаем.

 

Билет №23.

Билет №24.

1. Планирование эксперимента, типы планов, проверка адекватности моделей.

 

Ответ:

 

Планирование эксперимента - комплекс мероприятий, направленных на эффективную постановку опытов. Основная цель планирования эксперимента - достижение максимальной точности измерений при минимальном количестве проведенных опытов и сохранении статистической достоверности результатов. Планирование эксперимента применяется при поиске оптимальных условий, построении формул, выборе значимых факторов, оценке и уточнении теоретических моделей и др.

Типы:

1. Рандомизированный план предлагает выбор сочетания уровней для каждого прогона случайным образом.

2. Латинский план (латинский квадрат) используется в том случае, когда проводится эксперимент с одним первичным фактором и несколькими вторичными.

 

Проверка адекватности математической модели данным эксперимента проводится только в случае ненасыщенного планирования на основе сопоставления дисперсии воспроизводимости среднего значения функции отклика s2(y) и дисперсии адекватности. Оценка дисперсии адекватности при N > m характеризует отклонения между результатами наблюдений и значениями, формируемыми по функции отклика.

 

Билет №1.

Основные понятия математической логики (операции).

Ответ:

1.Высказывание (суждение) —это повествовательное, в котором либо утверждается или отрицается. По поводу любого высказывания можно сказать: истинно или ложно. Например: «лёд – твёрдое состояние воды» - истинное высказывание. 6=5 – ложное высказывание.

2.Логические величины - понятия, выражаемые словами: истина, ложь. Следовательно, истинность высказываний выражается через логические величины.

3.Логическая константа: ИСТИНА или ЛОЖЬ.

4.Логическая переменная – символически обозначенная логическая величина. Если известно, что А, В, и пр. переменные логические величины, то это значит, что они могут принимать значения только истина или ложь.

5.Логическое выражение – простое или сложное высказывание. Сложное высказывание строится из простых с помощью логических операций (связок).

6.Логическая формула(логическое выражение) – формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является истина или ложь.

Основные элементы и узлы ПК

Ответ:

Современный персональный компьютер состоит из нескольких основных блоков или узлов: системный блок, монитор, клавиатура, манипуляторы (манипуляторы осуществляют непосредственный ввод информации, указывая курсором на экране монитора команду или место ввода данных, используются для облегчения управления компьютером. К манипуляторам относятся мышь, трекбол, графический планшет, световое перо, тачпад, сенсорный экран, Roller Mouse, pointing stick, джойстик и игровые манипуляторы).

 

В системном блоке находится вся электронная начинка компьютера:

1. Материнская (или системная) плата, которая содержит основные компоненты компьютера, определяющие его архитектуру, а именно:

2. Процессор — для выполнения вычислений и общего управления компьютером;

3. Математический сопроцессор — для увеличения скорости вычислений с числами большой точности; Математический сопроцессор ускоряет расчеты, использующие операции над числами с плавающей запятой, примерно в 5-15 раз.В процессорах 486DX и PENTIUM сопроцессор уже внедрен в основной процессор и дополнительной установки не требуется.

4. Память — для постоянного и временного хранения информации;

5. Chipset - набор сверхбольших микросхем, на которых реализована вся архитек-тура платы

6. Слоты расширения для установки контроллеров

7. дисководы и винчестеры — для ввода/вывода и хранения информации;

8. По способу записи и чтения информации на носитель дисковые накопители можно подразделить на магнитные, оптические и магнитооптические.

9. Среди дисковых накопителей можно выделить:

a) накопители на флоппи-дисках;

b) накопители на несменных жестких дисках (винчестеры);

c) накопители на сменных жестких дисках;

d) накопители на магнитооптических дисках;

e) накопители на оптических компакт-дисках CD-ROM и др.

10. Контроллеры и адаптеры — устройства для анализа сигналов, поступающих в устройства компьютера;

11. Блок питания (вторичный источник электропитания, предназначенный для снабжения узлов компьютера электрической энергией постоянного тока, путём преобразования сетевого напряжения до требуемых значений).

 

Билет №2.

Булева алгебра, законы Б.А.

Ответ:

Булева алгебра - раздел математики, изучающий методы оперирования логическими (булевыми) переменными, принимающими только два значения - истина и ложь. Предложен английским математиком Джорджем Булем". Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина).

 

Основные законы булевой алгебры

Две формулы булевой алгебры равносильны (равны, эквивалентны), если равны сопоставляемые им функции (т.е. они принимают одинаковые значения на всех наборах значений аргументов). Ниже даны основные законы булевой алгебры, позволяющие проводить тождественные преобразования формул булевой алгебры (обратите внимание, насколько они похожи на законы классической арифметики):

1. закон двойного отрицания: not not x = x

2. закон коммутативности (от перестановки аргументов результат не меняется): x1 or x2 = x2 or x1; x1 and x2 = x2 and x1

3. закон ассоциативности (порядка вычислений): x1 or (x2 or x3) = (x1 or x2) or x3; x1 and (x2 and x3) = (x1 and x2) and x3

4. закон дистрибутивности (раскрытия скобок): x1 or (x2 and x3) = (x1 or x2) and (x1 or x3); x1 and (x2 or x3) = (x1 and x2) or (x1 and x3)

5. правила де Моргана: not (x1 or x2) = not x1 and not x2; not (x1 and x2) = not x1 or not x2

6. правила операций с константами 0 и 1: not 0 = 1, not 1 = 0; x or 0 = x, x or 1 = 1; x and 1 = x, x and 0 = 0

7. правила операций с переменной и её инверсией: x or not x = 1;x and not x = 0

Справедливость основных законов (тождеств) булевой алгебры может быть доказана перебором всех значений переменных, входящих в соотношения. Из основных законов можно легко получить следующие важные соотношения:

1. закон поглощения: x1 or (x1 and x2) = x1; x1 and (x1 or x2) = x1

2. закон идемпотентности (повторное применение не даёт ничего нового): x or x or... or x = x; x and x and... and x = x

3. на основании закона дистрибутивности, а также 7-го и 6-го законов: x1 or (not x1 and x2) = x1 or x2.